Решить ∫ x(1-x)^2 wrt x

$$\int x ( 1 - x ) ^ { 2 } d x$$

Вычислить

$$\frac{x^{4}}{4}-\frac{2x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+С$$

Действия по решению

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(1-x\right)^{2}.

$$\int x\left(1-2x+x^{2}\right)\mathrm{d}x$$

Чтобы умножить x на 1-2x+x^{2}, используйте свойство дистрибутивности.

$$\int x-2x^{2}+x^{3}\mathrm{d}x$$

Интегрируйте сумму по членам.

$$\int x\mathrm{d}x+\int -2x^{2}\mathrm{d}x+\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Вычтите постоянную в каждом из членов.

$$\int x\mathrm{d}x-2\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x\mathrm{d}x \frac{x^{2}}{2}.

$$\frac{x^{2}}{2}-2\int x^{2}\mathrm{d}x+\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x^{2}\mathrm{d}x \frac{x^{3}}{3}. Умножьте -2 на \frac{x^{3}}{3}.

$$\frac{x^{2}}{2}-\frac{2x^{3}}{3}+\int x^{3}\mathrm{d}x$$

Так как \int x^{k}\mathrm{d}x=\frac{x^{k+1}}{k+1} k\neq -1, замените \int x^{3}\mathrm{d}x \frac{x^{4}}{4}.

$$\frac{x^{2}}{2}-\frac{2x^{3}}{3}+\frac{x^{4}}{4}$$

Упростите.

$$\frac{x^{4}}{4}-\frac{2x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}$$

Если F\left(x\right) является антипроизводной f\left(x\right), то набор всех его производных f\left(x\right) предоставлен F\left(x\right)+C. Следовательно, добавьте константу C\in \mathrm{R} интеграции к результату.

$$\frac{x^{4}}{4}-\frac{2x^{3}}{3}+\frac{x^{2}}{2}+С$$

Дифференцировать по x

$$x\left(x-1\right)^{2}$$