Решить 2+3i/5-4i

$$\frac{ 2+3i }{ 5-4i }$$

Вычислить

$$-\frac{2}{41}+\frac{23}{41}i\approx -0,048780488+0,56097561i$$

Действия по решению

Умножьте и числитель, и знаменатель на число 5+4i, комплексно сопряженное со знаменателем.

$$\frac{\left(2+3i\right)\left(5+4i\right)}{\left(5-4i\right)\left(5+4i\right)}$$

Умножение можно преобразовать в разность квадратов с помощью следующего правила: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(2+3i\right)\left(5+4i\right)}{5^{2}-4^{2}i^{2}}$$

По определению, i^{2} = -1. Вычислите знаменатель.

$$\frac{\left(2+3i\right)\left(5+4i\right)}{41}$$

Умножьте комплексные числа 2+3i и 5+4i как двучлены.

$$\frac{2\times 5+2\times \left(4i\right)+3i\times 5+3\times 4i^{2}}{41}$$

По определению, i^{2} = -1.

$$\frac{2\times 5+2\times \left(4i\right)+3i\times 5+3\times 4\left(-1\right)}{41}$$

Выполните умножение в 2\times 5+2\times \left(4i\right)+3i\times 5+3\times 4\left(-1\right).

$$\frac{10+8i+15i-12}{41}$$

Объедините действительные и мнимые части в 10+8i+15i-12.

$$\frac{10-12+\left(8+15\right)i}{41}$$

Выполните сложение в 10-12+\left(8+15\right)i.

$$\frac{-2+23i}{41}$$

Разделите -2+23i на 41, чтобы получить -\frac{2}{41}+\frac{23}{41}i.

$$-\frac{2}{41}+\frac{23}{41}i$$

Действительная часть

$$-\frac{2}{41} = -0,04878048780487805$$

Действия по решению

Умножьте числитель и знаменатель числа \frac{2+3i}{5-4i} на число, комплексно сопряженное со знаменателем 5+4i.

$$Re(\frac{\left(2+3i\right)\left(5+4i\right)}{\left(5-4i\right)\left(5+4i\right)})$$

Умножение можно преобразовать в разность квадратов с помощью следующего правила: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$Re(\frac{\left(2+3i\right)\left(5+4i\right)}{5^{2}-4^{2}i^{2}})$$

По определению, i^{2} = -1. Вычислите знаменатель.

$$Re(\frac{\left(2+3i\right)\left(5+4i\right)}{41})$$

Умножьте комплексные числа 2+3i и 5+4i как двучлены.

$$Re(\frac{2\times 5+2\times \left(4i\right)+3i\times 5+3\times 4i^{2}}{41})$$

По определению, i^{2} = -1.

$$Re(\frac{2\times 5+2\times \left(4i\right)+3i\times 5+3\times 4\left(-1\right)}{41})$$

Выполните умножение в 2\times 5+2\times \left(4i\right)+3i\times 5+3\times 4\left(-1\right).

$$Re(\frac{10+8i+15i-12}{41})$$

Объедините действительные и мнимые части в 10+8i+15i-12.

$$Re(\frac{10-12+\left(8+15\right)i}{41})$$

Выполните сложение в 10-12+\left(8+15\right)i.

$$Re(\frac{-2+23i}{41})$$

Разделите -2+23i на 41, чтобы получить -\frac{2}{41}+\frac{23}{41}i.

$$Re(-\frac{2}{41}+\frac{23}{41}i)$$

Действительная часть -\frac{2}{41}+\frac{23}{41}i — -\frac{2}{41}.

$$-\frac{2}{41}$$