Решить x+9/x+16x/x+9=8

$$\frac { x + 9 } { x } + \frac { 16 x } { x + 9 } = 8$$

Найдите x

$$x=3$$

Способ разложения на множители путем группировки

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-9,0), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на x\left(x+9\right), наименьшее общее кратное чисел x,x+9.

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Перемножьте x+9 и x+9, чтобы получить \left(x+9\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+9\right)^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Перемножьте x и x, чтобы получить x^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Объедините x^{2} и x^{2}\times 16, чтобы получить 17x^{2}.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Чтобы умножить 8x на x+9, используйте свойство дистрибутивности.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Вычтите 8x^{2} из обеих частей уравнения.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Объедините 17x^{2} и -8x^{2}, чтобы получить 9x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Вычтите 72x из обеих частей уравнения.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Объедините 18x и -72x, чтобы получить -54x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Разделите обе части на 9.

$$x^{2}-6x+9=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: x^{2}+ax+bx+9. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-6 ab=1\times 9=9$$

Так как ab является положительным, a и b имеют один и тот же знак. Так как a+b является отрицательным, a и b являются отрицательными. Перечислите все такие пары целых 9.

$$-1,-9 -3,-3$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1-9=-10 -3-3=-6$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -6.

$$a=-3 b=-3$$

Перепишите x^{2}-6x+9 как \left(x^{2}-3x\right)+\left(-3x+9\right).

$$\left(x^{2}-3x\right)+\left(-3x+9\right)$$

Разложите x в первом и -3 в второй группе.

$$x\left(x-3\right)-3\left(x-3\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-3, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-3\right)\left(x-3\right)$$

Перепишите в виде квадрата двучлена.

$$\left(x-3\right)^{2}$$

Чтобы найти решение уравнения, решите следующее: x-3=0.

$$x=3$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-9,0), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на x\left(x+9\right), наименьшее общее кратное чисел x,x+9.

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Перемножьте x+9 и x+9, чтобы получить \left(x+9\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+9\right)^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Перемножьте x и x, чтобы получить x^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Объедините x^{2} и x^{2}\times 16, чтобы получить 17x^{2}.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Чтобы умножить 8x на x+9, используйте свойство дистрибутивности.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Вычтите 8x^{2} из обеих частей уравнения.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Объедините 17x^{2} и -8x^{2}, чтобы получить 9x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Вычтите 72x из обеих частей уравнения.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Объедините 18x и -72x, чтобы получить -54x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте 9 вместо a, -54 вместо b и 81 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{\left(-54\right)^{2}-4\times 9\times 81}}{2\times 9}$$

Возведите -54 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-4\times 9\times 81}}{2\times 9}$$

Умножьте -4 на 9.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-36\times 81}}{2\times 9}$$

Умножьте -36 на 81.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{2916-2916}}{2\times 9}$$

Прибавьте 2916 к -2916.

$$x=\frac{-\left(-54\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Извлеките квадратный корень из 0.

$$x=-\frac{-54}{2\times 9}$$

Число, противоположное -54, равно 54.

$$x=\frac{54}{2\times 9}$$

Умножьте 2 на 9.

$$x=\frac{54}{18}$$

Разделите 54 на 18.

$$x=3$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-9,0), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на x\left(x+9\right), наименьшее общее кратное чисел x,x+9.

$$\left(x+9\right)\left(x+9\right)+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Перемножьте x+9 и x+9, чтобы получить \left(x+9\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Использование бинома Ньютона \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} для разложения \left(x+9\right)^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x\times 16x=8x\left(x+9\right)$$

Перемножьте x и x, чтобы получить x^{2}.

$$x^{2}+18x+81+x^{2}\times 16=8x\left(x+9\right)$$

Объедините x^{2} и x^{2}\times 16, чтобы получить 17x^{2}.

$$17x^{2}+18x+81=8x\left(x+9\right)$$

Чтобы умножить 8x на x+9, используйте свойство дистрибутивности.

$$17x^{2}+18x+81=8x^{2}+72x$$

Вычтите 8x^{2} из обеих частей уравнения.

$$17x^{2}+18x+81-8x^{2}=72x$$

Объедините 17x^{2} и -8x^{2}, чтобы получить 9x^{2}.

$$9x^{2}+18x+81=72x$$

Вычтите 72x из обеих частей уравнения.

$$9x^{2}+18x+81-72x=0$$

Объедините 18x и -72x, чтобы получить -54x.

$$9x^{2}-54x+81=0$$

Вычтите 81 из обеих частей уравнения. Если вычесть любое число из нуля, то получится его отрицательный эквивалент.

$$9x^{2}-54x=-81$$

Разделите обе части на 9.

$$\frac{9x^{2}-54x}{9}=-\frac{81}{9}$$

Деление на 9 аннулирует операцию умножения на 9.

$$x^{2}+\left(-\frac{54}{9}\right)x=-\frac{81}{9}$$

Разделите -54 на 9.

$$x^{2}-6x=-\frac{81}{9}$$

Разделите -81 на 9.

$$x^{2}-6x=-9$$

Деление -6, коэффициент x термина, 2 для получения -3. Затем добавьте квадрат -3 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-9+\left(-3\right)^{2}$$

Возведите -3 в квадрат.

$$x^{2}-6x+9=-9+9$$

Прибавьте -9 к 9.

$$x^{2}-6x+9=0$$

Коэффициент x^{2}-6x+9. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=0$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Упростите.

$$x-3=0 x-3=0$$

Прибавьте 3 к обеим частям уравнения.

$$x=3 x=3$$

Уравнение решено. Решения совпадают.

$$x=3$$