Решить 75/x=75/x+15+1/4

$$\frac { 75 } { x } = \frac { 75 } { x + 15 } + \frac { 1 } { 4 }$$

Найдите x

$$x=-75$$

$$x=60$$

Способ разложения на множители путем группировки

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-15,0), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на 4x\left(x+15\right), наименьшее общее кратное чисел x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Чтобы умножить 4x+60 на 75, используйте свойство дистрибутивности.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Перемножьте 4 и 75, чтобы получить 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Перемножьте 4 и \frac{1}{4}, чтобы получить 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Чтобы умножить x на x+15, используйте свойство дистрибутивности.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Объедините 300x и 15x, чтобы получить 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Вычтите 315x из обеих частей уравнения.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Объедините 300x и -315x, чтобы получить -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Приведите многочлен к стандартному виду. Разместите члены, начиная с члена с наибольшей степенью и заканчивая членом с наименьшей степенью.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -x^{2}+ax+bx+4500. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-15 ab=-4500=-4500$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -4500.

$$1,-4500 2,-2250 3,-1500 4,-1125 5,-900 6,-750 9,-500 10,-450 12,-375 15,-300 18,-250 20,-225 25,-180 30,-150 36,-125 45,-100 50,-90 60,-75$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-4500=-4499 2-2250=-2248 3-1500=-1497 4-1125=-1121 5-900=-895 6-750=-744 9-500=-491 10-450=-440 12-375=-363 15-300=-285 18-250=-232 20-225=-205 25-180=-155 30-150=-120 36-125=-89 45-100=-55 50-90=-40 60-75=-15$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -15.

$$a=60 b=-75$$

Перепишите -x^{2}-15x+4500 как \left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right).

$$\left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right)$$

Разложите x в первом и 75 в второй группе.

$$x\left(-x+60\right)+75\left(-x+60\right)$$

Вынесите за скобки общий член -x+60, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(-x+60\right)\left(x+75\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите -x+60=0 и x+75=0у.

$$x=60 x=-75$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-15,0), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на 4x\left(x+15\right), наименьшее общее кратное чисел x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Чтобы умножить 4x+60 на 75, используйте свойство дистрибутивности.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Перемножьте 4 и 75, чтобы получить 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Перемножьте 4 и \frac{1}{4}, чтобы получить 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Чтобы умножить x на x+15, используйте свойство дистрибутивности.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Объедините 300x и 15x, чтобы получить 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Вычтите 315x из обеих частей уравнения.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Объедините 300x и -315x, чтобы получить -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -1 вместо a, -15 вместо b и 4500 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Возведите -15 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте -4 на -1.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+4\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 4 на 4500.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+18000}}{2\left(-1\right)}$$

Прибавьте 225 к 18000.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{18225}}{2\left(-1\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 18225.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±135}{2\left(-1\right)}$$

Число, противоположное -15, равно 15.

$$x=\frac{15±135}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 2 на -1.

$$x=\frac{15±135}{-2}$$

Решите уравнение x=\frac{15±135}{-2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 15 к 135.

$$x=\frac{150}{-2}$$

Разделите 150 на -2.

$$x=-75$$

Решите уравнение x=\frac{15±135}{-2} при условии, что ± — минус. Вычтите 135 из 15.

$$x=-\frac{120}{-2}$$

Разделите -120 на -2.

$$x=60$$

Уравнение решено.

$$x=-75 x=60$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-15,0), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на 4x\left(x+15\right), наименьшее общее кратное чисел x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Чтобы умножить 4x+60 на 75, используйте свойство дистрибутивности.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Перемножьте 4 и 75, чтобы получить 300.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

Перемножьте 4 и \frac{1}{4}, чтобы получить 1.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

Чтобы умножить x на x+15, используйте свойство дистрибутивности.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

Объедините 300x и 15x, чтобы получить 315x.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

Вычтите 315x из обеих частей уравнения.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

Объедините 300x и -315x, чтобы получить -15x.

$$-15x+4500=x^{2}$$

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

Вычтите 4500 из обеих частей уравнения. Если вычесть любое число из нуля, то получится его отрицательный эквивалент.

$$-15x-x^{2}=-4500$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}-15x=-4500$$

Разделите обе части на -1.

$$\frac{-x^{2}-15x}{-1}=-\frac{4500}{-1}$$

Деление на -1 аннулирует операцию умножения на -1.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{-1}\right)x=-\frac{4500}{-1}$$

Разделите -15 на -1.

$$x^{2}+15x=-\frac{4500}{-1}$$

Разделите -4500 на -1.

$$x^{2}+15x=4500$$

Деление 15, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{15}{2}. Затем добавьте квадрат \frac{15}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=4500+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Возведите \frac{15}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=4500+\frac{225}{4}$$

Прибавьте 4500 к \frac{225}{4}.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{18225}{4}$$

Коэффициент x^{2}+15x+\frac{225}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{18225}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18225}{4}}$$

Упростите.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{135}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{135}{2}$$

Вычтите \frac{15}{2} из обеих частей уравнения.

$$x=60 x=-75$$