Решить frac{5+2sqrt{3}}{7+4sqrt{3}}=x+sqrt{3}y

$$\frac { 5 + 2 \sqrt { 3 } } { 7 + 4 \sqrt { 3 } } = x + \sqrt { 3 } y$$

Найдите y

$$y=-\frac{\sqrt{3}\left(x+6\sqrt{3}-11\right)}{3}$$

Действия по решению линейного уравнения

Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби \frac{5+2\sqrt{3}}{7+4\sqrt{3}}, умножив числитель и знаменатель на 7-4\sqrt{3}.

$$\frac{\left(5+2\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{3}\right)}{\left(7+4\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{3}\right)}=x+\sqrt{3}y$$

Учтите \left(7+4\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{3}\right). Умножение можно преобразовать в разность квадратов с помощью следующего правила: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(5+2\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{3}\right)}{7^{2}-\left(4\sqrt{3}\right)^{2}}=x+\sqrt{3}y$$

Вычислите 7 в степени 2 и получите 49.

$$\frac{\left(5+2\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{3}\right)}{49-\left(4\sqrt{3}\right)^{2}}=x+\sqrt{3}y$$

Разложите \left(4\sqrt{3}\right)^{2}.

$$\frac{\left(5+2\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{3}\right)}{49-4^{2}\left(\sqrt{3}\right)^{2}}=x+\sqrt{3}y$$

Вычислите 4 в степени 2 и получите 16.

$$\frac{\left(5+2\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{3}\right)}{49-16\left(\sqrt{3}\right)^{2}}=x+\sqrt{3}y$$

Квадрат выражения \sqrt{3} равен 3.

$$\frac{\left(5+2\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{3}\right)}{49-16\times 3}=x+\sqrt{3}y$$

Перемножьте 16 и 3, чтобы получить 48.

$$\frac{\left(5+2\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{3}\right)}{49-48}=x+\sqrt{3}y$$

Вычтите 48 из 49, чтобы получить 1.

$$\frac{\left(5+2\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{3}\right)}{1}=x+\sqrt{3}y$$

При делении любого числа на единицу получается это же число.

$$\left(5+2\sqrt{3}\right)\left(7-4\sqrt{3}\right)=x+\sqrt{3}y$$

Чтобы умножить 5+2\sqrt{3} на 7-4\sqrt{3}, используйте свойство дистрибутивности и приведение подобных.

$$35-6\sqrt{3}-8\left(\sqrt{3}\right)^{2}=x+\sqrt{3}y$$

Квадрат выражения \sqrt{3} равен 3.

$$35-6\sqrt{3}-8\times 3=x+\sqrt{3}y$$

Перемножьте -8 и 3, чтобы получить -24.

$$35-6\sqrt{3}-24=x+\sqrt{3}y$$

Вычтите 24 из 35, чтобы получить 11.

$$11-6\sqrt{3}=x+\sqrt{3}y$$

Поменяйте стороны местами, чтобы все переменные члены находились в левой части.

$$x+\sqrt{3}y=11-6\sqrt{3}$$

Вычтите x из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{3}y=11-6\sqrt{3}-x$$

Уравнение имеет стандартный вид.

$$\sqrt{3}y=-x+11-6\sqrt{3}$$

Разделите обе части на \sqrt{3}.

$$\frac{\sqrt{3}y}{\sqrt{3}}=\frac{-x+11-6\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

Деление на \sqrt{3} аннулирует операцию умножения на \sqrt{3}.

$$y=\frac{-x+11-6\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

Разделите -6\sqrt{3}-x+11 на \sqrt{3}.

$$y=\frac{\sqrt{3}\left(-x+11-6\sqrt{3}\right)}{3}$$

Найдите x

$$x=-\sqrt{3}y+11-6\sqrt{3}$$