Решить 4/x^2-55/x=14

$$\frac { 4 } { x ^ { 2 } } - \frac { 55 } { x } = 14$$

Найдите x

$$x=-4$$

$$x=\frac{1}{14}\approx 0,071428571$$

Способ разложения на множители путем группировки

Переменная x не может равняться 0, так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на x^{2}, наименьшее общее кратное чисел x^{2},x.

$$4-x\times 55=14x^{2}$$

Вычтите 14x^{2} из обеих частей уравнения.

$$4-x\times 55-14x^{2}=0$$

Перемножьте -1 и 55, чтобы получить -55.

$$4-55x-14x^{2}=0$$

Приведите многочлен к стандартному виду. Разместите члены, начиная с члена с наибольшей степенью и заканчивая членом с наименьшей степенью.

$$-14x^{2}-55x+4=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -14x^{2}+ax+bx+4. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=-55 ab=-14\times 4=-56$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b отрицательный, отрицательное число имеет большее абсолютное значение, чем положительное. Перечислите все такие пары целых -56.

$$1,-56 2,-28 4,-14 7,-8$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$1-56=-55 2-28=-26 4-14=-10 7-8=-1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна -55.

$$a=1 b=-56$$

Перепишите -14x^{2}-55x+4 как \left(-14x^{2}+x\right)+\left(-56x+4\right).

$$\left(-14x^{2}+x\right)+\left(-56x+4\right)$$

Разложите -x в первом и -4 в второй группе.

$$-x\left(14x-1\right)-4\left(14x-1\right)$$

Вынесите за скобки общий член 14x-1, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(14x-1\right)\left(-x-4\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите 14x-1=0 и -x-4=0у.

$$x=\frac{1}{14} x=-4$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Переменная x не может равняться 0, так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на x^{2}, наименьшее общее кратное чисел x^{2},x.

$$4-x\times 55=14x^{2}$$

Вычтите 14x^{2} из обеих частей уравнения.

$$4-x\times 55-14x^{2}=0$$

Перемножьте -1 и 55, чтобы получить -55.

$$4-55x-14x^{2}=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-14x^{2}-55x+4=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -14 вместо a, -55 вместо b и 4 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{\left(-55\right)^{2}-4\left(-14\right)\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Возведите -55 в квадрат.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{3025-4\left(-14\right)\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Умножьте -4 на -14.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{3025+56\times 4}}{2\left(-14\right)}$$

Умножьте 56 на 4.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{3025+224}}{2\left(-14\right)}$$

Прибавьте 3025 к 224.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±\sqrt{3249}}{2\left(-14\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 3249.

$$x=\frac{-\left(-55\right)±57}{2\left(-14\right)}$$

Число, противоположное -55, равно 55.

$$x=\frac{55±57}{2\left(-14\right)}$$

Умножьте 2 на -14.

$$x=\frac{55±57}{-28}$$

Решите уравнение x=\frac{55±57}{-28} при условии, что ± — плюс. Прибавьте 55 к 57.

$$x=\frac{112}{-28}$$

Разделите 112 на -28.

$$x=-4$$

Решите уравнение x=\frac{55±57}{-28} при условии, что ± — минус. Вычтите 57 из 55.

$$x=-\frac{2}{-28}$$

Привести дробь \frac{-2}{-28} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x=\frac{1}{14}$$

Уравнение решено.

$$x=-4 x=\frac{1}{14}$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Переменная x не может равняться 0, так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на x^{2}, наименьшее общее кратное чисел x^{2},x.

$$4-x\times 55=14x^{2}$$

Вычтите 14x^{2} из обеих частей уравнения.

$$4-x\times 55-14x^{2}=0$$

Вычтите 4 из обеих частей уравнения. Если вычесть любое число из нуля, то получится его отрицательный эквивалент.

$$-x\times 55-14x^{2}=-4$$

Перемножьте -1 и 55, чтобы получить -55.

$$-55x-14x^{2}=-4$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-14x^{2}-55x=-4$$

Разделите обе части на -14.

$$\frac{-14x^{2}-55x}{-14}=-\frac{4}{-14}$$

Деление на -14 аннулирует операцию умножения на -14.

$$x^{2}+\left(-\frac{55}{-14}\right)x=-\frac{4}{-14}$$

Разделите -55 на -14.

$$x^{2}+\frac{55}{14}x=-\frac{4}{-14}$$

Привести дробь \frac{-4}{-14} к несократимому виду, разделив числитель и знаменатель на 2.

$$x^{2}+\frac{55}{14}x=\frac{2}{7}$$

Деление \frac{55}{14}, коэффициент x термина, 2 для получения \frac{55}{28}. Затем добавьте квадрат \frac{55}{28} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+\frac{55}{14}x+\left(\frac{55}{28}\right)^{2}=\frac{2}{7}+\left(\frac{55}{28}\right)^{2}$$

Возведите \frac{55}{28} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}+\frac{55}{14}x+\frac{3025}{784}=\frac{2}{7}+\frac{3025}{784}$$

Прибавьте \frac{2}{7} к \frac{3025}{784}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x^{2}+\frac{55}{14}x+\frac{3025}{784}=\frac{3249}{784}$$

Коэффициент x^{2}+\frac{55}{14}x+\frac{3025}{784}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{55}{28}\right)^{2}=\frac{3249}{784}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+\frac{55}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3249}{784}}$$

Упростите.

$$x+\frac{55}{28}=\frac{57}{28} x+\frac{55}{28}=-\frac{57}{28}$$

Вычтите \frac{55}{28} из обеих частей уравнения.

$$x=\frac{1}{14} x=-4$$