Решить 3x/2+y=11;x+y/2=7

$$\frac { 3 x } { 2 } + y = 11 ; x + \frac { y } { 2 } = 7$$

Найдите x, y

$$x=6$$

$$y=2$$

Действия с использованием подстановок

Рассмотрите первое уравнение. Умножьте обе части уравнения на 2.

$$3x+2y=22$$

Рассмотрите второе уравнение. Умножьте обе части уравнения на 2.

$$2x+y=14$$

Чтобы решить два уравнения методом подстановки, сначала решите одно из уравнений для одной из переменных. Затем подставьте результат для этой переменной в другое уравнение.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Выберите одно из уравнений и решите его для x путем изоляция x в левой части уравнения.

$$3x+2y=22$$

Вычтите 2y из обеих частей уравнения.

$$3x=-2y+22$$

Разделите обе части на 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-2y+22\right)$$

Умножьте \frac{1}{3} на -2y+22.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}$$

Подставьте \frac{-2y+22}{3} вместо x в другом уравнении 2x+y=14.

$$2\left(-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}\right)+y=14$$

Умножьте 2 на \frac{-2y+22}{3}.

$$-\frac{4}{3}y+\frac{44}{3}+y=14$$

Прибавьте -\frac{4y}{3} к y.

$$-\frac{1}{3}y+\frac{44}{3}=14$$

Вычтите \frac{44}{3} из обеих частей уравнения.

$$-\frac{1}{3}y=-\frac{2}{3}$$

Умножьте обе части на -3.

$$y=2$$

Подставьте 2 вместо y в x=-\frac{2}{3}y+\frac{22}{3}. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$x=-\frac{2}{3}\times 2+\frac{22}{3}$$

Умножьте -\frac{2}{3} на 2.

$$x=\frac{-4+22}{3}$$

Прибавьте \frac{22}{3} к -\frac{4}{3}, найдя общий знаменатель и сложив числители. Затем, если это возможно, сократите дробь до младших членов.

$$x=6$$

Система решена.

$$x=6,y=2$$

Действия с использованием матриц

Рассмотрите первое уравнение. Умножьте обе части уравнения на 2.

$$3x+2y=22$$

Рассмотрите второе уравнение. Умножьте обе части уравнения на 2.

$$2x+y=14$$

Приведите уравнения к стандартному виду, а затем решите систему уравнений с помощью матриц.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Запишите уравнения в матричном виде.

$$\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Левое произведение с матрицей, обратной \left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Произведение матрицы на обратную ей является единичной матрицей.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Перемножение матриц слева от знака равенства.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&2\\2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Для матрицы \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) с размерностью 2\times 2 обратная матрица имеет вид \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), поэтому матричное уравнение можно переписать в виде задачи умножения матриц.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-2\times 2}&-\frac{2}{3-2\times 2}\\-\frac{2}{3-2\times 2}&\frac{3}{3-2\times 2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&2\\2&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}22\\14\end{matrix}\right)$$

Перемножьте матрицы.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22+2\times 14\\2\times 22-3\times 14\end{matrix}\right)$$

Выполните арифметические операции.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\2\end{matrix}\right)$$

Извлеките элементы матрицы x и y.

$$x=6,y=2$$

Действия с использованием исключения

Рассмотрите первое уравнение. Умножьте обе части уравнения на 2.

$$3x+2y=22$$

Рассмотрите второе уравнение. Умножьте обе части уравнения на 2.

$$2x+y=14$$

Для решения методом исключения коэффициенты одной из переменных должны быть одинаковыми в обоих уравнениях, чтобы переменная сократилась при вычитании одного уравнения из другого.

$$3x+2y=22,2x+y=14$$

Чтобы сделать 3x и 2x равными, умножьте все члены в обеих частях первого уравнения на 2 и все члены в обеих частях второго уравнения на 3.

$$2\times 3x+2\times 2y=2\times 22,3\times 2x+3y=3\times 14$$

Упростите.

$$6x+4y=44,6x+3y=42$$

Вычтите 6x+3y=42 из 6x+4y=44 путем вычитания подобных членов в обеих частях уравнения.

$$6x-6x+4y-3y=44-42$$

Прибавьте 6x к -6x. Члены 6x и -6x сокращаются, после чего в уравнении остается только одна переменная, и его можно решить.

$$4y-3y=44-42$$

Прибавьте 4y к -3y.

$$y=44-42$$

Прибавьте 44 к -42.

$$y=2$$

Подставьте 2 вместо y в 2x+y=14. Так как получившееся уравнение содержит только одну переменную, вы можете напрямую найти решение для x.

$$2x+2=14$$

Вычтите 2 из обеих частей уравнения.

$$2x=12$$

Разделите обе части на 2.

$$x=6$$

Система решена.

$$x=6,y=2$$