Решить 3/sqrt{5+sqrt{2}}+1/3+sqrt{8}

$$\frac { 3 } { \sqrt { 5 } + \sqrt { 2 } } + \frac { 1 } { 3 + \sqrt { 8 } }$$

Вычислить

$$\sqrt{5}+3-3\sqrt{2}\approx 0,99342729$$

Действия по решению

Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби \frac{3}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}, умножив числитель и знаменатель на \sqrt{5}-\sqrt{2}.

$$\frac{3\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}+\frac{1}{3+\sqrt{8}}$$

Учтите \left(\sqrt{5}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right). Умножение можно преобразовать в разность квадратов с помощью следующего правила: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{3\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{5}\right)^{2}-\left(\sqrt{2}\right)^{2}}+\frac{1}{3+\sqrt{8}}$$

Возведите \sqrt{5} в квадрат. Возведите \sqrt{2} в квадрат.

$$\frac{3\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}{5-2}+\frac{1}{3+\sqrt{8}}$$

Вычтите 2 из 5, чтобы получить 3.

$$\frac{3\left(\sqrt{5}-\sqrt{2}\right)}{3}+\frac{1}{3+\sqrt{8}}$$

Сократите 3 и 3.

$$\sqrt{5}-\sqrt{2}+\frac{1}{3+\sqrt{8}}$$

Разложите на множители выражение 8=2^{2}\times 2. Перепишите квадратный корень произведения \sqrt{2^{2}\times 2} как произведение квадратных корней \sqrt{2^{2}}\sqrt{2}. Извлеките квадратный корень из 2^{2}.

$$\sqrt{5}-\sqrt{2}+\frac{1}{3+2\sqrt{2}}$$

Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби \frac{1}{3+2\sqrt{2}}, умножив числитель и знаменатель на 3-2\sqrt{2}.

$$\sqrt{5}-\sqrt{2}+\frac{3-2\sqrt{2}}{\left(3+2\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right)}$$

Учтите \left(3+2\sqrt{2}\right)\left(3-2\sqrt{2}\right). Умножение можно преобразовать в разность квадратов с помощью следующего правила: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\sqrt{5}-\sqrt{2}+\frac{3-2\sqrt{2}}{3^{2}-\left(2\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Вычислите 3 в степени 2 и получите 9.

$$\sqrt{5}-\sqrt{2}+\frac{3-2\sqrt{2}}{9-\left(2\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Разложите \left(2\sqrt{2}\right)^{2}.

$$\sqrt{5}-\sqrt{2}+\frac{3-2\sqrt{2}}{9-2^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Вычислите 2 в степени 2 и получите 4.

$$\sqrt{5}-\sqrt{2}+\frac{3-2\sqrt{2}}{9-4\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Квадрат выражения \sqrt{2} равен 2.

$$\sqrt{5}-\sqrt{2}+\frac{3-2\sqrt{2}}{9-4\times 2}$$

Перемножьте 4 и 2, чтобы получить 8.

$$\sqrt{5}-\sqrt{2}+\frac{3-2\sqrt{2}}{9-8}$$

Вычтите 8 из 9, чтобы получить 1.

$$\sqrt{5}-\sqrt{2}+\frac{3-2\sqrt{2}}{1}$$

При делении любого числа на единицу получается это же число.

$$\sqrt{5}-\sqrt{2}+3-2\sqrt{2}$$

Объедините -\sqrt{2} и -2\sqrt{2}, чтобы получить -3\sqrt{2}.

$$\sqrt{5}-3\sqrt{2}+3$$