Решить 2/x+15/x+6=1

$$\frac { 2 } { x } + \frac { 15 } { x + 6 } = 1$$

Найдите x

$$x=-1$$

$$x=12$$

Способ разложения на множители путем группировки

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-6,0), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на x\left(x+6\right), наименьшее общее кратное чисел x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Чтобы умножить x+6 на 2, используйте свойство дистрибутивности.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Объедините 2x и x\times 15, чтобы получить 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Чтобы умножить x на x+6, используйте свойство дистрибутивности.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Вычтите 6x из обеих частей уравнения.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Объедините 17x и -6x, чтобы получить 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Приведите многочлен к стандартному виду. Разместите члены, начиная с члена с наибольшей степенью и заканчивая членом с наименьшей степенью.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -x^{2}+ax+bx+12. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=11 ab=-12=-12$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 11.

$$a=12 b=-1$$

Перепишите -x^{2}+11x+12 как \left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right).

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(-x+12\right)$$

Разложите -x в первом и -1 в второй группе.

$$-x\left(x-12\right)-\left(x-12\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-12, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-12\right)\left(-x-1\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-12=0 и -x-1=0у.

$$x=12 x=-1$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-6,0), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на x\left(x+6\right), наименьшее общее кратное чисел x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Чтобы умножить x+6 на 2, используйте свойство дистрибутивности.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Объедините 2x и x\times 15, чтобы получить 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Чтобы умножить x на x+6, используйте свойство дистрибутивности.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Вычтите 6x из обеих частей уравнения.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Объедините 17x и -6x, чтобы получить 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-x^{2}+11x+12=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -1 вместо a, 11 вместо b и 12 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Возведите 11 в квадрат.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-1\right)\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте -4 на -1.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+4\times 12}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 4 на 12.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-1\right)}$$

Прибавьте 121 к 48.

$$x=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 169.

$$x=\frac{-11±13}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 2 на -1.

$$x=\frac{-11±13}{-2}$$

Решите уравнение x=\frac{-11±13}{-2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -11 к 13.

$$x=\frac{2}{-2}$$

Разделите 2 на -2.

$$x=-1$$

Решите уравнение x=\frac{-11±13}{-2} при условии, что ± — минус. Вычтите 13 из -11.

$$x=-\frac{24}{-2}$$

Разделите -24 на -2.

$$x=12$$

Уравнение решено.

$$x=-1 x=12$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-6,0), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на x\left(x+6\right), наименьшее общее кратное чисел x,x+6.

$$\left(x+6\right)\times 2+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Чтобы умножить x+6 на 2, используйте свойство дистрибутивности.

$$2x+12+x\times 15=x\left(x+6\right)$$

Объедините 2x и x\times 15, чтобы получить 17x.

$$17x+12=x\left(x+6\right)$$

Чтобы умножить x на x+6, используйте свойство дистрибутивности.

$$17x+12=x^{2}+6x$$

Вычтите x^{2} из обеих частей уравнения.

$$17x+12-x^{2}=6x$$

Вычтите 6x из обеих частей уравнения.

$$17x+12-x^{2}-6x=0$$

Объедините 17x и -6x, чтобы получить 11x.

$$11x+12-x^{2}=0$$

Вычтите 12 из обеих частей уравнения. Если вычесть любое число из нуля, то получится его отрицательный эквивалент.

$$11x-x^{2}=-12$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+11x=-12$$

Разделите обе части на -1.

$$\frac{-x^{2}+11x}{-1}=-\frac{12}{-1}$$

Деление на -1 аннулирует операцию умножения на -1.

$$x^{2}+\frac{11}{-1}x=-\frac{12}{-1}$$

Разделите 11 на -1.

$$x^{2}-11x=-\frac{12}{-1}$$

Разделите -12 на -1.

$$x^{2}-11x=12$$

Деление -11, коэффициент x термина, 2 для получения -\frac{11}{2}. Затем добавьте квадрат -\frac{11}{2} к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-11x+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=12+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Возведите -\frac{11}{2} в квадрат путем возведения числителя и знаменателя дроби в квадрат.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=12+\frac{121}{4}$$

Прибавьте 12 к \frac{121}{4}.

$$x^{2}-11x+\frac{121}{4}=\frac{169}{4}$$

Коэффициент x^{2}-11x+\frac{121}{4}. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Упростите.

$$x-\frac{11}{2}=\frac{13}{2} x-\frac{11}{2}=-\frac{13}{2}$$

Прибавьте \frac{11}{2} к обеим частям уравнения.

$$x=12 x=-1$$