Решить frac{2sqrt{5}}{sqrt{6}+sqrt{5}}-frac{3sqrt{2}}{sqrt{15}+3sqrt{2}}

$$\frac { 2 \sqrt { 5 } } { \sqrt { 6 } + \sqrt { 5 } } - \frac { 3 \sqrt { 2 } } { \sqrt { 15 } + 3 \sqrt { 2 } }$$

Вычислить

$$3\sqrt{30}-16\approx 0,431676725$$

Действия по решению

Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби \frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{6}+\sqrt{5}}, умножив числитель и знаменатель на \sqrt{6}-\sqrt{5}.

$$\frac{2\sqrt{5}\left(\sqrt{6}-\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{6}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{6}-\sqrt{5}\right)}-\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{15}+3\sqrt{2}}$$

Учтите \left(\sqrt{6}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{6}-\sqrt{5}\right). Умножение можно преобразовать в разность квадратов с помощью следующего правила: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{2\sqrt{5}\left(\sqrt{6}-\sqrt{5}\right)}{\left(\sqrt{6}\right)^{2}-\left(\sqrt{5}\right)^{2}}-\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{15}+3\sqrt{2}}$$

Возведите \sqrt{6} в квадрат. Возведите \sqrt{5} в квадрат.

$$\frac{2\sqrt{5}\left(\sqrt{6}-\sqrt{5}\right)}{6-5}-\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{15}+3\sqrt{2}}$$

Вычтите 5 из 6, чтобы получить 1.

$$\frac{2\sqrt{5}\left(\sqrt{6}-\sqrt{5}\right)}{1}-\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{15}+3\sqrt{2}}$$

При делении любого числа на единицу получается это же число.

$$2\sqrt{5}\left(\sqrt{6}-\sqrt{5}\right)-\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{15}+3\sqrt{2}}$$

Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби \frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{15}+3\sqrt{2}}, умножив числитель и знаменатель на \sqrt{15}-3\sqrt{2}.

$$2\sqrt{5}\left(\sqrt{6}-\sqrt{5}\right)-\frac{3\sqrt{2}\left(\sqrt{15}-3\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{15}+3\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{15}-3\sqrt{2}\right)}$$

Учтите \left(\sqrt{15}+3\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{15}-3\sqrt{2}\right). Умножение можно преобразовать в разность квадратов с помощью следующего правила: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$2\sqrt{5}\left(\sqrt{6}-\sqrt{5}\right)-\frac{3\sqrt{2}\left(\sqrt{15}-3\sqrt{2}\right)}{\left(\sqrt{15}\right)^{2}-\left(3\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Квадрат выражения \sqrt{15} равен 15.

$$2\sqrt{5}\left(\sqrt{6}-\sqrt{5}\right)-\frac{3\sqrt{2}\left(\sqrt{15}-3\sqrt{2}\right)}{15-\left(3\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Разложите \left(3\sqrt{2}\right)^{2}.

$$2\sqrt{5}\left(\sqrt{6}-\sqrt{5}\right)-\frac{3\sqrt{2}\left(\sqrt{15}-3\sqrt{2}\right)}{15-3^{2}\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Вычислите 3 в степени 2 и получите 9.

$$2\sqrt{5}\left(\sqrt{6}-\sqrt{5}\right)-\frac{3\sqrt{2}\left(\sqrt{15}-3\sqrt{2}\right)}{15-9\left(\sqrt{2}\right)^{2}}$$

Квадрат выражения \sqrt{2} равен 2.

$$2\sqrt{5}\left(\sqrt{6}-\sqrt{5}\right)-\frac{3\sqrt{2}\left(\sqrt{15}-3\sqrt{2}\right)}{15-9\times 2}$$

Перемножьте 9 и 2, чтобы получить 18.

$$2\sqrt{5}\left(\sqrt{6}-\sqrt{5}\right)-\frac{3\sqrt{2}\left(\sqrt{15}-3\sqrt{2}\right)}{15-18}$$

Вычтите 18 из 15, чтобы получить -3.

$$2\sqrt{5}\left(\sqrt{6}-\sqrt{5}\right)-\frac{3\sqrt{2}\left(\sqrt{15}-3\sqrt{2}\right)}{-3}$$

Сократите -3 и -3.

$$2\sqrt{5}\left(\sqrt{6}-\sqrt{5}\right)-\left(-\sqrt{2}\left(\sqrt{15}-3\sqrt{2}\right)\right)$$

Число, противоположное -\sqrt{2}\left(\sqrt{15}-3\sqrt{2}\right), равно \sqrt{2}\left(\sqrt{15}-3\sqrt{2}\right).

$$2\sqrt{5}\left(\sqrt{6}-\sqrt{5}\right)+\sqrt{2}\left(\sqrt{15}-3\sqrt{2}\right)$$

Чтобы умножить 2\sqrt{5} на \sqrt{6}-\sqrt{5}, используйте свойство дистрибутивности.

$$2\sqrt{5}\sqrt{6}-2\left(\sqrt{5}\right)^{2}+\sqrt{2}\left(\sqrt{15}-3\sqrt{2}\right)$$

Чтобы перемножить \sqrt{5} и \sqrt{6}, перемножьте номера в квадратном корне.

$$2\sqrt{30}-2\left(\sqrt{5}\right)^{2}+\sqrt{2}\left(\sqrt{15}-3\sqrt{2}\right)$$

Квадрат выражения \sqrt{5} равен 5.

$$2\sqrt{30}-2\times 5+\sqrt{2}\left(\sqrt{15}-3\sqrt{2}\right)$$

Перемножьте -2 и 5, чтобы получить -10.

$$2\sqrt{30}-10+\sqrt{2}\left(\sqrt{15}-3\sqrt{2}\right)$$

Чтобы умножить \sqrt{2} на \sqrt{15}-3\sqrt{2}, используйте свойство дистрибутивности.

$$2\sqrt{30}-10+\sqrt{2}\sqrt{15}-3\left(\sqrt{2}\right)^{2}$$

Чтобы перемножить \sqrt{2} и \sqrt{15}, перемножьте номера в квадратном корне.

$$2\sqrt{30}-10+\sqrt{30}-3\left(\sqrt{2}\right)^{2}$$

Квадрат выражения \sqrt{2} равен 2.

$$2\sqrt{30}-10+\sqrt{30}-3\times 2$$

Перемножьте -3 и 2, чтобы получить -6.

$$2\sqrt{30}-10+\sqrt{30}-6$$

Объедините 2\sqrt{30} и \sqrt{30}, чтобы получить 3\sqrt{30}.

$$3\sqrt{30}-10-6$$

Вычтите 6 из -10, чтобы получить -16.

$$3\sqrt{30}-16$$

Разложить на множители

$$3 \sqrt{30} - 16 = 0,431676725$$