Решить 1/x+1/x+18-1/12=0

$$\frac { 1 } { x } + \frac { 1 } { x + 18 } - \frac { 1 } { 12 } = 0$$

Найдите x

$$x=-12$$

$$x=18$$

Способ разложения на множители путем группировки

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-18,0), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на 12x\left(x+18\right), наименьшее общее кратное чисел x,x+18,12.

$$12x+216+12x+12x\left(x+18\right)\left(-\frac{1}{12}\right)=0$$

Объедините 12x и 12x, чтобы получить 24x.

$$24x+216+12x\left(x+18\right)\left(-\frac{1}{12}\right)=0$$

Перемножьте 12 и -\frac{1}{12}, чтобы получить -1.

$$24x+216-x\left(x+18\right)=0$$

Чтобы умножить -x на x+18, используйте свойство дистрибутивности.

$$24x+216-x^{2}-18x=0$$

Объедините 24x и -18x, чтобы получить 6x.

$$6x+216-x^{2}=0$$

Приведите многочлен к стандартному виду. Разместите члены, начиная с члена с наибольшей степенью и заканчивая членом с наименьшей степенью.

$$-x^{2}+6x+216=0$$

Чтобы решить уравнение, разложите левую сторону на множители путем группировки. Сначала левую сторону необходимо перезаписать в следующем виде: -x^{2}+ax+bx+216. Чтобы найти a и b, настройте систему на ее устранение.

$$a+b=6 ab=-216=-216$$

Так как ab является отрицательным, a и b имеют противоположные знаки. Поскольку результат выражения a+b положительный, положительное число имеет больше абсолютное значение, чем отрицательное. Перечислите все такие пары целых -216.

$$-1,216 -2,108 -3,72 -4,54 -6,36 -8,27 -9,24 -12,18$$

Вычислите сумму для каждой пары.

$$-1+216=215 -2+108=106 -3+72=69 -4+54=50 -6+36=30 -8+27=19 -9+24=15 -12+18=6$$

Решение — это пара значений, сумма которых равна 6.

$$a=18 b=-12$$

Перепишите -x^{2}+6x+216 как \left(-x^{2}+18x\right)+\left(-12x+216\right).

$$\left(-x^{2}+18x\right)+\left(-12x+216\right)$$

Разложите -x в первом и -12 в второй группе.

$$-x\left(x-18\right)-12\left(x-18\right)$$

Вынесите за скобки общий член x-18, используя свойство дистрибутивности.

$$\left(x-18\right)\left(-x-12\right)$$

Чтобы найти решения для уравнений, решите x-18=0 и -x-12=0у.

$$x=18 x=-12$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-18,0), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на 12x\left(x+18\right), наименьшее общее кратное чисел x,x+18,12.

$$12x+216+12x+12x\left(x+18\right)\left(-\frac{1}{12}\right)=0$$

Объедините 12x и 12x, чтобы получить 24x.

$$24x+216+12x\left(x+18\right)\left(-\frac{1}{12}\right)=0$$

Перемножьте 12 и -\frac{1}{12}, чтобы получить -1.

$$24x+216-x\left(x+18\right)=0$$

Чтобы умножить -x на x+18, используйте свойство дистрибутивности.

$$24x+216-x^{2}-18x=0$$

Объедините 24x и -18x, чтобы получить 6x.

$$6x+216-x^{2}=0$$

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$-x^{2}+6x+216=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте -1 вместо a, 6 вместо b и 216 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\left(-1\right)\times 216}}{2\left(-1\right)}$$

Возведите 6 в квадрат.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\left(-1\right)\times 216}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте -4 на -1.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+4\times 216}}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 4 на 216.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+864}}{2\left(-1\right)}$$

Прибавьте 36 к 864.

$$x=\frac{-6±\sqrt{900}}{2\left(-1\right)}$$

Извлеките квадратный корень из 900.

$$x=\frac{-6±30}{2\left(-1\right)}$$

Умножьте 2 на -1.

$$x=\frac{-6±30}{-2}$$

Решите уравнение x=\frac{-6±30}{-2} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -6 к 30.

$$x=\frac{24}{-2}$$

Разделите 24 на -2.

$$x=-12$$

Решите уравнение x=\frac{-6±30}{-2} при условии, что ± — минус. Вычтите 30 из -6.

$$x=-\frac{36}{-2}$$

Разделите -36 на -2.

$$x=18$$

Уравнение решено.

$$x=-12 x=18$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Переменная x не может равняться ни одному из этих значений (-18,0), так как деление на ноль не определено. Умножьте обе стороны уравнения на 12x\left(x+18\right), наименьшее общее кратное чисел x,x+18,12.

$$12x+216+12x+12x\left(x+18\right)\left(-\frac{1}{12}\right)=0$$

Объедините 12x и 12x, чтобы получить 24x.

$$24x+216+12x\left(x+18\right)\left(-\frac{1}{12}\right)=0$$

Перемножьте 12 и -\frac{1}{12}, чтобы получить -1.

$$24x+216-x\left(x+18\right)=0$$

Чтобы умножить -x на x+18, используйте свойство дистрибутивности.

$$24x+216-x^{2}-18x=0$$

Объедините 24x и -18x, чтобы получить 6x.

$$6x+216-x^{2}=0$$

Вычтите 216 из обеих частей уравнения. Если вычесть любое число из нуля, то получится его отрицательный эквивалент.

$$6x-x^{2}=-216$$

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+6x=-216$$

Разделите обе части на -1.

$$\frac{-x^{2}+6x}{-1}=-\frac{216}{-1}$$

Деление на -1 аннулирует операцию умножения на -1.

$$x^{2}+\frac{6}{-1}x=-\frac{216}{-1}$$

Разделите 6 на -1.

$$x^{2}-6x=-\frac{216}{-1}$$

Разделите -216 на -1.

$$x^{2}-6x=216$$

Деление -6, коэффициент x термина, 2 для получения -3. Затем добавьте квадрат -3 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=216+\left(-3\right)^{2}$$

Возведите -3 в квадрат.

$$x^{2}-6x+9=216+9$$

Прибавьте 216 к 9.

$$x^{2}-6x+9=225$$

Коэффициент x^{2}-6x+9. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-3\right)^{2}=225$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{225}$$

Упростите.

$$x-3=15 x-3=-15$$

Прибавьте 3 к обеим частям уравнения.

$$x=18 x=-12$$