Решить 1/n-1/n+1

$$\frac { 1 } { n } - \frac { 1 } { n + 1 }$$

Вычислить

$$\frac{1}{n\left(n+1\right)}$$

Краткая последовательность решения

Чтобы выполнить сложение или вычитание нескольких выражений, приведите их к одному знаменателю. Наименьшее общее кратное чисел n и n+1 равно n\left(n+1\right). Умножьте \frac{1}{n} на \frac{n+1}{n+1}. Умножьте \frac{1}{n+1} на \frac{n}{n}.

$$\frac{n+1}{n\left(n+1\right)}-\frac{n}{n\left(n+1\right)}$$

Поскольку числа \frac{n+1}{n\left(n+1\right)} и \frac{n}{n\left(n+1\right)} имеют одинаковый знаменатель, выполните операцию вычитания с помощью числителей.

$$\frac{n+1-n}{n\left(n+1\right)}$$

Приведите подобные члены в n+1-n.

$$\frac{1}{n\left(n+1\right)}$$

Разложите n\left(n+1\right).

$$\frac{1}{n^{2}+n}$$

Дифференцировать по n

$$-\frac{2n+1}{\left(n\left(n+1\right)\right)^{2}}$$

Действия с использованием цепного правила

Чтобы выполнить сложение или вычитание нескольких выражений, приведите их к одному знаменателю. Наименьшее общее кратное чисел n и n+1 равно n\left(n+1\right). Умножьте \frac{1}{n} на \frac{n+1}{n+1}. Умножьте \frac{1}{n+1} на \frac{n}{n}.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{n+1}{n\left(n+1\right)}-\frac{n}{n\left(n+1\right)})$$

Поскольку числа \frac{n+1}{n\left(n+1\right)} и \frac{n}{n\left(n+1\right)} имеют одинаковый знаменатель, выполните операцию вычитания с помощью числителей.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{n+1-n}{n\left(n+1\right)})$$

Приведите подобные члены в n+1-n.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{1}{n\left(n+1\right)})$$

Чтобы умножить n на n+1, используйте свойство дистрибутивности.

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(\frac{1}{n^{2}+n})$$

Если F является композицией двух дифференцируемых функций f\left(u\right) и u=g\left(x\right), то есть если F\left(x\right)=f\left(g\left(x\right)\right), то производная F равна произведению производной f по u и производной g по x, то есть \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(F)\left(x\right)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f)\left(g\left(x\right)\right)\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(g)\left(x\right).

$$-\left(n^{2}+n^{1}\right)^{-1-1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}n}(n^{2}+n^{1})$$

Производная многочлена равна сумме производных его членов. Производная любой константы равна 0. Производная ax^{n} равна nax^{n-1}.

$$-\left(n^{2}+n^{1}\right)^{-2}\left(2n^{2-1}+n^{1-1}\right)$$

Упростите.

$$\left(n^{2}+n^{1}\right)^{-2}\left(-2n^{1}-n^{0}\right)$$

Для любого члена t, t^{1}=t.

$$\left(n^{2}+n\right)^{-2}\left(-2n-n^{0}\right)$$

Для любого члена t, за исключением 0, t^{0}=1.

$$\left(n^{2}+n\right)^{-2}\left(-2n-1\right)$$