Решить 1/3x^2+6x=9

$$\frac { 1 } { 3 } x ^ { 2 } + 6 x = 9$$

Найдите x

$$x=6\sqrt{3}-9\approx 1,392304845$$

$$x=-6\sqrt{3}-9\approx -19,392304845$$

Действия с использованием формулы корней квадратного уравнения

Все уравнения вида ax^{2}+bx+c=0 можно решить с помощью формулы корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Эта формула дает два решения: одно, когда для ± используется сложение, а второе — когда вычитание.

$$\frac{1}{3}x^{2}+6x=9$$

Вычтите 9 из обеих частей уравнения.

$$\frac{1}{3}x^{2}+6x-9=9-9$$

Если из 9 вычесть такое же значение, то получится 0.

$$\frac{1}{3}x^{2}+6x-9=0$$

Данное уравнение имеет стандартный вид ax^{2}+bx+c=0. Подставьте \frac{1}{3} вместо a, 6 вместо b и -9 вместо c в формуле корней квадратного уравнения \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times \frac{1}{3}\left(-9\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Возведите 6 в квадрат.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times \frac{1}{3}\left(-9\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Умножьте -4 на \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-\frac{4}{3}\left(-9\right)}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Умножьте -\frac{4}{3} на -9.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+12}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Прибавьте 36 к 12.

$$x=\frac{-6±\sqrt{48}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Извлеките квадратный корень из 48.

$$x=\frac{-6±4\sqrt{3}}{2\times \frac{1}{3}}$$

Умножьте 2 на \frac{1}{3}.

$$x=\frac{-6±4\sqrt{3}}{\frac{2}{3}}$$

Решите уравнение x=\frac{-6±4\sqrt{3}}{\frac{2}{3}} при условии, что ± — плюс. Прибавьте -6 к 4\sqrt{3}.

$$x=\frac{4\sqrt{3}-6}{\frac{2}{3}}$$

Разделите -6+4\sqrt{3} на \frac{2}{3}, умножив -6+4\sqrt{3} на величину, обратную \frac{2}{3}.

$$x=6\sqrt{3}-9$$

Решите уравнение x=\frac{-6±4\sqrt{3}}{\frac{2}{3}} при условии, что ± — минус. Вычтите 4\sqrt{3} из -6.

$$x=\frac{-4\sqrt{3}-6}{\frac{2}{3}}$$

Разделите -6-4\sqrt{3} на \frac{2}{3}, умножив -6-4\sqrt{3} на величину, обратную \frac{2}{3}.

$$x=-6\sqrt{3}-9$$

Уравнение решено.

$$x=6\sqrt{3}-9 x=-6\sqrt{3}-9$$

Действия по дополнению до полного квадрата

Такие квадратные уравнения, как это, можно решить, дополнив их до полного квадрата. Чтобы можно было дополнить уравнение до полного квадрата, оно должно иметь вид x^{2}+bx=c.

$$\frac{1}{3}x^{2}+6x=9$$

Умножьте обе части на 3.

$$\frac{\frac{1}{3}x^{2}+6x}{\frac{1}{3}}=\frac{9}{\frac{1}{3}}$$

Деление на \frac{1}{3} аннулирует операцию умножения на \frac{1}{3}.

$$x^{2}+\frac{6}{\frac{1}{3}}x=\frac{9}{\frac{1}{3}}$$

Разделите 6 на \frac{1}{3}, умножив 6 на величину, обратную \frac{1}{3}.

$$x^{2}+18x=\frac{9}{\frac{1}{3}}$$

Разделите 9 на \frac{1}{3}, умножив 9 на величину, обратную \frac{1}{3}.

$$x^{2}+18x=27$$

Деление 18, коэффициент x термина, 2 для получения 9. Затем добавьте квадрат 9 к обеим частям уравнения. Этот шаг поворачивается в левой части уравнения до идеального квадрата.

$$x^{2}+18x+9^{2}=27+9^{2}$$

Возведите 9 в квадрат.

$$x^{2}+18x+81=27+81$$

Прибавьте 27 к 81.

$$x^{2}+18x+81=108$$

Коэффициент x^{2}+18x+81. Как правило, если x^{2}+bx+c является идеальным квадратом, его всегда можно разложить как \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+9\right)^{2}=108$$

Извлеките квадратный корень из обеих частей уравнения.

$$\sqrt{\left(x+9\right)^{2}}=\sqrt{108}$$

Упростите.

$$x+9=6\sqrt{3} x+9=-6\sqrt{3}$$

Вычтите 9 из обеих частей уравнения.

$$x=6\sqrt{3}-9 x=-6\sqrt{3}-9$$