Решить frac{sqrt{3}-1}{sqrt{3}+1}=a+bsqrt{3}

$$\frac { \sqrt { 3 } - 1 } { \sqrt { 3 } + 1 } = a + b \sqrt { 3 }$$

Найдите b

$$b=-\frac{\sqrt{3}\left(a+\sqrt{3}-2\right)}{3}$$

Действия по решению линейного уравнения

Избавьтесь от иррациональности в знаменателе дроби \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}, умножив числитель и знаменатель на \sqrt{3}-1.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}=a+b\sqrt{3}$$

Учтите \left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right). Умножение можно преобразовать в разность квадратов с помощью следующего правила: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-1^{2}}=a+b\sqrt{3}$$

Возведите \sqrt{3} в квадрат. Возведите 1 в квадрат.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{3-1}=a+b\sqrt{3}$$

Вычтите 1 из 3, чтобы получить 2.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Перемножьте \sqrt{3}-1 и \sqrt{3}-1, чтобы получить \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}-1\right)^{2}}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Использование бинома Ньютона \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} для разложения \left(\sqrt{3}-1\right)^{2}.

$$\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{2}-2\sqrt{3}+1}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Квадрат выражения \sqrt{3} равен 3.

$$\frac{3-2\sqrt{3}+1}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Чтобы вычислить 4, сложите 3 и 1.

$$\frac{4-2\sqrt{3}}{2}=a+b\sqrt{3}$$

Разделите каждый член 4-2\sqrt{3} на 2, чтобы получить 2-\sqrt{3}.

$$2-\sqrt{3}=a+b\sqrt{3}$$

Поменяйте стороны местами, чтобы все переменные члены находились в левой части.

$$a+b\sqrt{3}=2-\sqrt{3}$$

Вычтите a из обеих частей уравнения.

$$b\sqrt{3}=2-\sqrt{3}-a$$

Уравнение имеет стандартный вид.

$$\sqrt{3}b=-a+2-\sqrt{3}$$

Разделите обе части на \sqrt{3}.

$$\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{3}}=\frac{-a+2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

Деление на \sqrt{3} аннулирует операцию умножения на \sqrt{3}.

$$b=\frac{-a+2-\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$$

Разделите -\sqrt{3}-a+2 на \sqrt{3}.

$$b=\frac{\sqrt{3}\left(-a+2-\sqrt{3}\right)}{3}$$

Найдите a

$$a=-\sqrt{3}b+2-\sqrt{3}$$