Rezolvați z^2-9z+8=0

$$z ^ { 2 } - 9 z + 8 = 0$$

Rezolvați pentru z

$$z=1$$

$$z=8$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul z^{2}-9z+8 utilizând formula z^{2}+\left(a+b\right)z+ab=\left(z+a\right)\left(z+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-9 ab=8$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 8.

$$-1,-8 -2,-4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

Soluția este perechea care dă suma de -9.

$$a=-8 b=-1$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(z+a\right)\left(z+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(z-8\right)\left(z-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați z-8=0 și z-1=0.

$$z=8 z=1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca z^{2}+az+bz+8. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-9 ab=1\times 8=8$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 8.

$$-1,-8 -2,-4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

Soluția este perechea care dă suma de -9.

$$a=-8 b=-1$$

Rescrieți z^{2}-9z+8 ca \left(z^{2}-8z\right)+\left(-z+8\right).

$$\left(z^{2}-8z\right)+\left(-z+8\right)$$

Factor z în primul și -1 în al doilea grup.

$$z\left(z-8\right)-\left(z-8\right)$$

Scoateți termenul comun z-8 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(z-8\right)\left(z-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați z-8=0 și z-1=0.

$$z=8 z=1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$z^{2}-9z+8=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -9 și c cu 8 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 8}}{2}$$

Ridicați -9 la pătrat.

$$z=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 8}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 8.

$$z=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-32}}{2}$$

Adunați 81 cu -32.

$$z=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{49}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 49.

$$z=\frac{-\left(-9\right)±7}{2}$$

Opusul lui -9 este 9.

$$z=\frac{9±7}{2}$$

Acum rezolvați ecuația z=\frac{9±7}{2} atunci când ± este plus. Adunați 9 cu 7.

$$z=\frac{16}{2}$$

Împărțiți 16 la 2.

$$z=8$$

Acum rezolvați ecuația z=\frac{9±7}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 7 din 9.

$$z=\frac{2}{2}$$

Împărțiți 2 la 2.

$$z=1$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$z=8 z=1$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$z^{2}-9z+8=0$$

Scădeți 8 din ambele părți ale ecuației.

$$z^{2}-9z+8-8=-8$$

Scăderea 8 din el însuși are ca rezultat 0.

$$z^{2}-9z=-8$$

Împărțiți -9, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{9}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{9}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$z^{2}-9z+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=-8+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{9}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$z^{2}-9z+\frac{81}{4}=-8+\frac{81}{4}$$

Adunați -8 cu \frac{81}{4}.

$$z^{2}-9z+\frac{81}{4}=\frac{49}{4}$$

Factor z^{2}-9z+\frac{81}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(z-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Simplificați.

$$z-\frac{9}{2}=\frac{7}{2} z-\frac{9}{2}=-\frac{7}{2}$$

Adunați \frac{9}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$z=8 z=1$$