Rezolvați z^2-6z+34=0

$$z ^ { 2 } - 6 z + 34 = 0$$

Rezolvați pentru z

$$z=3+5i$$

$$z=3-5i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$z^{2}-6z+34=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -6 și c cu 34 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 34}}{2}$$

Ridicați -6 la pătrat.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 34}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 34.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-136}}{2}$$

Adunați 36 cu -136.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-100}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -100.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±10i}{2}$$

Opusul lui -6 este 6.

$$z=\frac{6±10i}{2}$$

Acum rezolvați ecuația z=\frac{6±10i}{2} atunci când ± este plus. Adunați 6 cu 10i.

$$z=\frac{6+10i}{2}$$

Împărțiți 6+10i la 2.

$$z=3+5i$$

Acum rezolvați ecuația z=\frac{6±10i}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 10i din 6.

$$z=\frac{6-10i}{2}$$

Împărțiți 6-10i la 2.

$$z=3-5i$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$z=3+5i z=3-5i$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$z^{2}-6z+34=0$$

Scădeți 34 din ambele părți ale ecuației.

$$z^{2}-6z+34-34=-34$$

Scăderea 34 din el însuși are ca rezultat 0.

$$z^{2}-6z=-34$$

Împărțiți -6, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -3. Apoi, adunați pătratul lui -3 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$z^{2}-6z+\left(-3\right)^{2}=-34+\left(-3\right)^{2}$$

Ridicați -3 la pătrat.

$$z^{2}-6z+9=-34+9$$

Adunați -34 cu 9.

$$z^{2}-6z+9=-25$$

Factor z^{2}-6z+9. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-3\right)^{2}=-25$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(z-3\right)^{2}}=\sqrt{-25}$$

Simplificați.

$$z-3=5i z-3=-5i$$

Adunați 3 la ambele părți ale ecuației.

$$z=3+5i z=3-5i$$