Rezolvați y^2-28y+192=0

$$y ^ { 2 } - 28 y + 192 = 0$$

Rezolvați pentru y

$$y=12$$

$$y=16$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul y^{2}-28y+192 utilizând formula y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-28 ab=192$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 192.

$$-1,-192 -2,-96 -3,-64 -4,-48 -6,-32 -8,-24 -12,-16$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-192=-193 -2-96=-98 -3-64=-67 -4-48=-52 -6-32=-38 -8-24=-32 -12-16=-28$$

Soluția este perechea care dă suma de -28.

$$a=-16 b=-12$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(y+a\right)\left(y+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(y-16\right)\left(y-12\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați y-16=0 și y-12=0.

$$y=16 y=12$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca y^{2}+ay+by+192. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-28 ab=1\times 192=192$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 192.

$$-1,-192 -2,-96 -3,-64 -4,-48 -6,-32 -8,-24 -12,-16$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-192=-193 -2-96=-98 -3-64=-67 -4-48=-52 -6-32=-38 -8-24=-32 -12-16=-28$$

Soluția este perechea care dă suma de -28.

$$a=-16 b=-12$$

Rescrieți y^{2}-28y+192 ca \left(y^{2}-16y\right)+\left(-12y+192\right).

$$\left(y^{2}-16y\right)+\left(-12y+192\right)$$

Factor y în primul și -12 în al doilea grup.

$$y\left(y-16\right)-12\left(y-16\right)$$

Scoateți termenul comun y-16 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(y-16\right)\left(y-12\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați y-16=0 și y-12=0.

$$y=16 y=12$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$y^{2}-28y+192=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -28 și c cu 192 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{\left(-28\right)^{2}-4\times 192}}{2}$$

Ridicați -28 la pătrat.

$$y=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-4\times 192}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 192.

$$y=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{784-768}}{2}$$

Adunați 784 cu -768.

$$y=\frac{-\left(-28\right)±\sqrt{16}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 16.

$$y=\frac{-\left(-28\right)±4}{2}$$

Opusul lui -28 este 28.

$$y=\frac{28±4}{2}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{28±4}{2} atunci când ± este plus. Adunați 28 cu 4.

$$y=\frac{32}{2}$$

Împărțiți 32 la 2.

$$y=16$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{28±4}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 4 din 28.

$$y=\frac{24}{2}$$

Împărțiți 24 la 2.

$$y=12$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$y=16 y=12$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-28y+192=0$$

Scădeți 192 din ambele părți ale ecuației.

$$y^{2}-28y+192-192=-192$$

Scăderea 192 din el însuși are ca rezultat 0.

$$y^{2}-28y=-192$$

Împărțiți -28, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -14. Apoi, adunați pătratul lui -14 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}-28y+\left(-14\right)^{2}=-192+\left(-14\right)^{2}$$

Ridicați -14 la pătrat.

$$y^{2}-28y+196=-192+196$$

Adunați -192 cu 196.

$$y^{2}-28y+196=4$$

Factor y^{2}-28y+196. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-14\right)^{2}=4$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y-14\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Simplificați.

$$y-14=2 y-14=-2$$

Adunați 14 la ambele părți ale ecuației.

$$y=16 y=12$$