Rezolvați x-3y=7text{and}3x+3y=9

$$x - 3 y = 7 \text { and } 3 x + 3 y = 9$$

Rezolvați pentru x, y

$$x=4$$

$$y=-1$$

Pași folosind substituirea

Pentru a rezolva o pereche de ecuații utilizând substituirea, rezolvați mai întâi una dintre ecuații, pentru una dintre variabile. Apoi înlocuiți rezultatul pentru acea variabilă în cealaltă ecuație.

$$x-3y=7,3x+3y=9$$

Alegeți una dintre ecuații și rezolvați-o pentru x, prin izolarea lui x pe partea din stânga semnului egal.

$$x-3y=7$$

Adunați 3y la ambele părți ale ecuației.

$$x=3y+7$$

Înlocuiți x cu 3y+7 în cealaltă ecuație, 3x+3y=9.

$$3\left(3y+7\right)+3y=9$$

Înmulțiți 3 cu 3y+7.

$$9y+21+3y=9$$

Adunați 9y cu 3y.

$$12y+21=9$$

Scădeți 21 din ambele părți ale ecuației.

$$12y=-12$$

Se împart ambele părți la 12.

$$y=-1$$

Înlocuiți y cu -1 în x=3y+7. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$x=3\left(-1\right)+7$$

Înmulțiți 3 cu -1.

$$x=-3+7$$

Adunați 7 cu -3.

$$x=4$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=4,y=-1$$

Pași folosind matrice

Puneți ecuațiile în formă standard, apoi utilizați matrici pentru a rezolva sistemul de ecuații.

$$x-3y=7,3x+3y=9$$

Scrieți ecuațiile în forma matriceală.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți la stânga ecuația cu matricea inversă a \left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Produsul dintre o matrice și inversa ei este matricea de identitate.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele din partea din stânga semnului egal.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Pentru matricea 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right), matricea inversă este \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), așadar ecuația poate fi rescrisă ca o problemă de înmulțire a matricelor.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{3-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{3-\left(-3\times 3\right)}&\frac{1}{3-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{12}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}7\\9\end{matrix}\right)$$

Înmulțiți matricele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 7+\frac{1}{4}\times 9\\-\frac{1}{4}\times 7+\frac{1}{12}\times 9\end{matrix}\right)$$

Faceți calculele.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrageți elementele x și y ale matricei.

$$x=4,y=-1$$

Pași folosind eliminarea

Pentru a rezolva prin eliminare, coeficienții uneia dintre variabile trebuie să fie identici în ambele ecuații, astfel încât variabila se va reduce prin eliminare atunci când o ecuație se scade din cealaltă.

$$x-3y=7,3x+3y=9$$

Pentru a egala x și 3x, înmulțiți toți termenii de pe fiecare parte a primei ecuații cu 3 și toți termenii de pe fiecare parte a celei de a doua ecuații cu 1.

$$3x+3\left(-3\right)y=3\times 7,3x+3y=9$$

Simplificați.

$$3x-9y=21,3x+3y=9$$

Scădeți pe 3x+3y=9 din 3x-9y=21 scăzând termenii asemenea de pe fiecare parte a semnului egal.

$$3x-3x-9y-3y=21-9$$

Adunați 3x cu -3x. Termenii 3x și -3x se anulează, lăsând o ecuație cu o singură variabilă care poate fi rezolvată.

$$-9y-3y=21-9$$

Adunați -9y cu -3y.

$$-12y=21-9$$

Adunați 21 cu -9.

$$-12y=12$$

Se împart ambele părți la -12.

$$y=-1$$

Înlocuiți y cu -1 în 3x+3y=9. Deoarece ecuația rezultată conține doar o variabilă, x se poate rezolva direct.

$$3x+3\left(-1\right)=9$$

Înmulțiți 3 cu -1.

$$3x-3=9$$

Adunați 3 la ambele părți ale ecuației.

$$3x=12$$

Se împart ambele părți la 3.

$$x=4$$

Sistemul este rezolvat acum.

$$x=4,y=-1$$