Rezolvați x^2-16x=-63

$$x ^ { 2 } - 16 x = - 63$$

Rezolvați pentru x

$$x=7$$

$$x=9$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Adăugați 63 la ambele părți.

$$x^{2}-16x+63=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}-16x+63 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-16 ab=63$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 63.

$$-1,-63 -3,-21 -7,-9$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-63=-64 -3-21=-24 -7-9=-16$$

Soluția este perechea care dă suma de -16.

$$a=-9 b=-7$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-9\right)\left(x-7\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-9=0 și x-7=0.

$$x=9 x=7$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Adăugați 63 la ambele părți.

$$x^{2}-16x+63=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+63. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-16 ab=1\times 63=63$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 63.

$$-1,-63 -3,-21 -7,-9$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-63=-64 -3-21=-24 -7-9=-16$$

Soluția este perechea care dă suma de -16.

$$a=-9 b=-7$$

Rescrieți x^{2}-16x+63 ca \left(x^{2}-9x\right)+\left(-7x+63\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(-7x+63\right)$$

Factor x în primul și -7 în al doilea grup.

$$x\left(x-9\right)-7\left(x-9\right)$$

Scoateți termenul comun x-9 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-9\right)\left(x-7\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-9=0 și x-7=0.

$$x=9 x=7$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-16x=-63$$

Adunați 63 la ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}-16x-\left(-63\right)=-63-\left(-63\right)$$

Scăderea -63 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}-16x-\left(-63\right)=0$$

Scădeți -63 din 0.

$$x^{2}-16x+63=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -16 și c cu 63 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 63}}{2}$$

Ridicați -16 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 63}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 63.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-252}}{2}$$

Adunați 256 cu -252.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{4}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 4.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±2}{2}$$

Opusul lui -16 este 16.

$$x=\frac{16±2}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{16±2}{2} atunci când ± este plus. Adunați 16 cu 2.

$$x=\frac{18}{2}$$

Împărțiți 18 la 2.

$$x=9$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{16±2}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 2 din 16.

$$x=\frac{14}{2}$$

Împărțiți 14 la 2.

$$x=7$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=9 x=7$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-16x=-63$$

Împărțiți -16, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -8. Apoi, adunați pătratul lui -8 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-16x+\left(-8\right)^{2}=-63+\left(-8\right)^{2}$$

Ridicați -8 la pătrat.

$$x^{2}-16x+64=-63+64$$

Adunați -63 cu 64.

$$x^{2}-16x+64=1$$

Factor x^{2}-16x+64. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-8\right)^{2}=1$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-8\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Simplificați.

$$x-8=1 x-8=-1$$

Adunați 8 la ambele părți ale ecuației.

$$x=9 x=7$$