Rezolvați x^2-15x-9=0

$$x ^ { 2 } - 15 x - 9 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = \frac{3 \sqrt{29} + 15}{2} \approx 15,577747211$$

$$x=\frac{15-3\sqrt{29}}{2}\approx -0,577747211$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-15x-9=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -15 și c cu -9 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-9\right)}}{2}$$

Ridicați -15 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-9\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -9.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+36}}{2}$$

Adunați 225 cu 36.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{261}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 261.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±3\sqrt{29}}{2}$$

Opusul lui -15 este 15.

$$x=\frac{15±3\sqrt{29}}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{15±3\sqrt{29}}{2} atunci când ± este plus. Adunați 15 cu 3\sqrt{29}.

$$x=\frac{3\sqrt{29}+15}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{15±3\sqrt{29}}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 3\sqrt{29} din 15.

$$x=\frac{15-3\sqrt{29}}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{3\sqrt{29}+15}{2} x=\frac{15-3\sqrt{29}}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-15x-9=0$$

Adunați 9 la ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}-15x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Scăderea -9 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}-15x=-\left(-9\right)$$

Scădeți -9 din 0.

$$x^{2}-15x=9$$

Împărțiți -15, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{15}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{15}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=9+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{15}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=9+\frac{225}{4}$$

Adunați 9 cu \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{261}{4}$$

Factor x^{2}-15x+\frac{225}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{261}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{261}{4}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{3\sqrt{29}}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{3\sqrt{29}}{2}$$

Adunați \frac{15}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{3\sqrt{29}+15}{2} x=\frac{15-3\sqrt{29}}{2}$$