Rezolvați x^2-14x=-47

$$x ^ { 2 } - 14 x = - 47$$

Rezolvați pentru x

$$x=\sqrt{2}+7\approx 8,414213562$$

$$x=7-\sqrt{2}\approx 5,585786438$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-14x=-47$$

Adunați 47 la ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}-14x-\left(-47\right)=-47-\left(-47\right)$$

Scăderea -47 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}-14x-\left(-47\right)=0$$

Scădeți -47 din 0.

$$x^{2}-14x+47=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -14 și c cu 47 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{\left(-14\right)^{2}-4\times 47}}{2}$$

Ridicați -14 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-4\times 47}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 47.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{196-188}}{2}$$

Adunați 196 cu -188.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±\sqrt{8}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 8.

$$x=\frac{-\left(-14\right)±2\sqrt{2}}{2}$$

Opusul lui -14 este 14.

$$x=\frac{14±2\sqrt{2}}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{14±2\sqrt{2}}{2} atunci când ± este plus. Adunați 14 cu 2\sqrt{2}.

$$x=\frac{2\sqrt{2}+14}{2}$$

Împărțiți 14+2\sqrt{2} la 2.

$$x=\sqrt{2}+7$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{14±2\sqrt{2}}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 2\sqrt{2} din 14.

$$x=\frac{14-2\sqrt{2}}{2}$$

Împărțiți 14-2\sqrt{2} la 2.

$$x=7-\sqrt{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\sqrt{2}+7 x=7-\sqrt{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-14x=-47$$

Împărțiți -14, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -7. Apoi, adunați pătratul lui -7 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-47+\left(-7\right)^{2}$$

Ridicați -7 la pătrat.

$$x^{2}-14x+49=-47+49$$

Adunați -47 cu 49.

$$x^{2}-14x+49=2$$

Factor x^{2}-14x+49. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-7\right)^{2}=2$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{2}$$

Simplificați.

$$x-7=\sqrt{2} x-7=-\sqrt{2}$$

Adunați 7 la ambele părți ale ecuației.

$$x=\sqrt{2}+7 x=7-\sqrt{2}$$