Rezolvați x^2-12x+27=0

$$x ^ { 2 } - 12 x + 27 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=3$$

$$x=9$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}-12x+27 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-12 ab=27$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 27.

$$-1,-27 -3,-9$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-27=-28 -3-9=-12$$

Soluția este perechea care dă suma de -12.

$$a=-9 b=-3$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-9\right)\left(x-3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-9=0 și x-3=0.

$$x=9 x=3$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+27. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-12 ab=1\times 27=27$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 27.

$$-1,-27 -3,-9$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-27=-28 -3-9=-12$$

Soluția este perechea care dă suma de -12.

$$a=-9 b=-3$$

Rescrieți x^{2}-12x+27 ca \left(x^{2}-9x\right)+\left(-3x+27\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(-3x+27\right)$$

Factor x în primul și -3 în al doilea grup.

$$x\left(x-9\right)-3\left(x-9\right)$$

Scoateți termenul comun x-9 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-9\right)\left(x-3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-9=0 și x-3=0.

$$x=9 x=3$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}-12x+27=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -12 și c cu 27 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 27}}{2}$$

Ridicați -12 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 27}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 27.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-108}}{2}$$

Adunați 144 cu -108.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{36}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 36.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±6}{2}$$

Opusul lui -12 este 12.

$$x=\frac{12±6}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{12±6}{2} atunci când ± este plus. Adunați 12 cu 6.

$$x=\frac{18}{2}$$

Împărțiți 18 la 2.

$$x=9$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{12±6}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 6 din 12.

$$x=\frac{6}{2}$$

Împărțiți 6 la 2.

$$x=3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=9 x=3$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-12x+27=0$$

Scădeți 27 din ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}-12x+27-27=-27$$

Scăderea 27 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}-12x=-27$$

Împărțiți -12, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -6. Apoi, adunați pătratul lui -6 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-27+\left(-6\right)^{2}$$

Ridicați -6 la pătrat.

$$x^{2}-12x+36=-27+36$$

Adunați -27 cu 36.

$$x^{2}-12x+36=9$$

Factor x^{2}-12x+36. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-6\right)^{2}=9$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Simplificați.

$$x-6=3 x-6=-3$$

Adunați 6 la ambele părți ale ecuației.

$$x=9 x=3$$