Rezolvați x^2+54x=-504

$$x ^ { 2 } + 54 x = - 504$$

Rezolvați pentru x

$$x=-42$$

$$x=-12$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Adăugați 504 la ambele părți.

$$x^{2}+54x+504=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}+54x+504 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=54 ab=504$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 504.

$$1,504 2,252 3,168 4,126 6,84 7,72 8,63 9,56 12,42 14,36 18,28 21,24$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+504=505 2+252=254 3+168=171 4+126=130 6+84=90 7+72=79 8+63=71 9+56=65 12+42=54 14+36=50 18+28=46 21+24=45$$

Soluția este perechea care dă suma de 54.

$$a=12 b=42$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x+12\right)\left(x+42\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x+12=0 și x+42=0.

$$x=-12 x=-42$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Adăugați 504 la ambele părți.

$$x^{2}+54x+504=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx+504. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=54 ab=1\times 504=504$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este pozitiv, a și b sunt ambele pozitive. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 504.

$$1,504 2,252 3,168 4,126 6,84 7,72 8,63 9,56 12,42 14,36 18,28 21,24$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1+504=505 2+252=254 3+168=171 4+126=130 6+84=90 7+72=79 8+63=71 9+56=65 12+42=54 14+36=50 18+28=46 21+24=45$$

Soluția este perechea care dă suma de 54.

$$a=12 b=42$$

Rescrieți x^{2}+54x+504 ca \left(x^{2}+12x\right)+\left(42x+504\right).

$$\left(x^{2}+12x\right)+\left(42x+504\right)$$

Factor x în primul și 42 în al doilea grup.

$$x\left(x+12\right)+42\left(x+12\right)$$

Scoateți termenul comun x+12 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x+12\right)\left(x+42\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x+12=0 și x+42=0.

$$x=-12 x=-42$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}+54x=-504$$

Adunați 504 la ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}+54x-\left(-504\right)=-504-\left(-504\right)$$

Scăderea -504 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}+54x-\left(-504\right)=0$$

Scădeți -504 din 0.

$$x^{2}+54x+504=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 54 și c cu 504 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-54±\sqrt{54^{2}-4\times 504}}{2}$$

Ridicați 54 la pătrat.

$$x=\frac{-54±\sqrt{2916-4\times 504}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 504.

$$x=\frac{-54±\sqrt{2916-2016}}{2}$$

Adunați 2916 cu -2016.

$$x=\frac{-54±\sqrt{900}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 900.

$$x=\frac{-54±30}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-54±30}{2} atunci când ± este plus. Adunați -54 cu 30.

$$x=-\frac{24}{2}$$

Împărțiți -24 la 2.

$$x=-12$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-54±30}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 30 din -54.

$$x=-\frac{84}{2}$$

Împărțiți -84 la 2.

$$x=-42$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-12 x=-42$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+54x=-504$$

Împărțiți 54, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține 27. Apoi, adunați pătratul lui 27 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+54x+27^{2}=-504+27^{2}$$

Ridicați 27 la pătrat.

$$x^{2}+54x+729=-504+729$$

Adunați -504 cu 729.

$$x^{2}+54x+729=225$$

Factor x^{2}+54x+729. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+27\right)^{2}=225$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+27\right)^{2}}=\sqrt{225}$$

Simplificați.

$$x+27=15 x+27=-15$$

Scădeți 27 din ambele părți ale ecuației.

$$x=-12 x=-42$$