Rezolvați x^2+31x-360=0

$$x ^ { 2 } + 31 x - 360 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-40$$

$$x=9$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}+31x-360 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=31 ab=-360$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -360.

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

Soluția este perechea care dă suma de 31.

$$a=-9 b=40$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-9=0 și x+40=0.

$$x=9 x=-40$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-360. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=31 ab=1\left(-360\right)=-360$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -360.

$$-1,360 -2,180 -3,120 -4,90 -5,72 -6,60 -8,45 -9,40 -10,36 -12,30 -15,24 -18,20$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+360=359 -2+180=178 -3+120=117 -4+90=86 -5+72=67 -6+60=54 -8+45=37 -9+40=31 -10+36=26 -12+30=18 -15+24=9 -18+20=2$$

Soluția este perechea care dă suma de 31.

$$a=-9 b=40$$

Rescrieți x^{2}+31x-360 ca \left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(40x-360\right)$$

Factor x în primul și 40 în al doilea grup.

$$x\left(x-9\right)+40\left(x-9\right)$$

Scoateți termenul comun x-9 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-9\right)\left(x+40\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-9=0 și x+40=0.

$$x=9 x=-40$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}+31x-360=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 31 și c cu -360 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-31±\sqrt{31^{2}-4\left(-360\right)}}{2}$$

Ridicați 31 la pătrat.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-4\left(-360\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -360.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961+1440}}{2}$$

Adunați 961 cu 1440.

$$x=\frac{-31±\sqrt{2401}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 2401.

$$x=\frac{-31±49}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-31±49}{2} atunci când ± este plus. Adunați -31 cu 49.

$$x=\frac{18}{2}$$

Împărțiți 18 la 2.

$$x=9$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-31±49}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 49 din -31.

$$x=-\frac{80}{2}$$

Împărțiți -80 la 2.

$$x=-40$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=9 x=-40$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+31x-360=0$$

Adunați 360 la ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}+31x-360-\left(-360\right)=-\left(-360\right)$$

Scăderea -360 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}+31x=-\left(-360\right)$$

Scădeți -360 din 0.

$$x^{2}+31x=360$$

Împărțiți 31, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{31}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{31}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+31x+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}=360+\left(\frac{31}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{31}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=360+\frac{961}{4}$$

Adunați 360 cu \frac{961}{4}.

$$x^{2}+31x+\frac{961}{4}=\frac{2401}{4}$$

Factor x^{2}+31x+\frac{961}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}=\frac{2401}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{31}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2401}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{31}{2}=\frac{49}{2} x+\frac{31}{2}=-\frac{49}{2}$$

Scădeți \frac{31}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=9 x=-40$$