Rezolvați x^2+13x-30=0

$$x ^ { 2 } + 13 x - 30 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-15$$

$$x=2$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul x^{2}+13x-30 utilizând formula x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=13 ab=-30$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 13.

$$a=-2 b=15$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(x+a\right)\left(x+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(x-2\right)\left(x+15\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-2=0 și x+15=0.

$$x=2 x=-15$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-30. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=13 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 13.

$$a=-2 b=15$$

Rescrieți x^{2}+13x-30 ca \left(x^{2}-2x\right)+\left(15x-30\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(15x-30\right)$$

Factor x în primul și 15 în al doilea grup.

$$x\left(x-2\right)+15\left(x-2\right)$$

Scoateți termenul comun x-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-2\right)\left(x+15\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-2=0 și x+15=0.

$$x=2 x=-15$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x^{2}+13x-30=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu 13 și c cu -30 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-30\right)}}{2}$$

Ridicați 13 la pătrat.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-30\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -30.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+120}}{2}$$

Adunați 169 cu 120.

$$x=\frac{-13±\sqrt{289}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 289.

$$x=\frac{-13±17}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-13±17}{2} atunci când ± este plus. Adunați -13 cu 17.

$$x=\frac{4}{2}$$

Împărțiți 4 la 2.

$$x=2$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-13±17}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 17 din -13.

$$x=-\frac{30}{2}$$

Împărțiți -30 la 2.

$$x=-15$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=2 x=-15$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+13x-30=0$$

Adunați 30 la ambele părți ale ecuației.

$$x^{2}+13x-30-\left(-30\right)=-\left(-30\right)$$

Scăderea -30 din el însuși are ca rezultat 0.

$$x^{2}+13x=-\left(-30\right)$$

Scădeți -30 din 0.

$$x^{2}+13x=30$$

Împărțiți 13, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{13}{2}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{13}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+13x+\left(\frac{13}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{13}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+13x+\frac{169}{4}=30+\frac{169}{4}$$

Adunați 30 cu \frac{169}{4}.

$$x^{2}+13x+\frac{169}{4}=\frac{289}{4}$$

Factor x^{2}+13x+\frac{169}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{289}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{4}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{13}{2}=\frac{17}{2} x+\frac{13}{2}=-\frac{17}{2}$$

Scădeți \frac{13}{2} din ambele părți ale ecuației.

$$x=2 x=-15$$