Rezolvați x+2(-x^2+3x+6)-3=0

$$x + 2 ( - x ^ { 2 } + 3 x + 6 ) - 3 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-1$$

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2 cu -x^{2}+3x+6.

$$x+2\left(-x^{2}\right)+6x+12-3=0$$

Combinați x cu 6x pentru a obține 7x.

$$7x+2\left(-x^{2}\right)+12-3=0$$

Scădeți 3 din 12 pentru a obține 9.

$$7x+2\left(-x^{2}\right)+9=0$$

Înmulțiți 2 cu -1 pentru a obține -2.

$$7x-2x^{2}+9=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$-2x^{2}+7x+9=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca -2x^{2}+ax+bx+9. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=7 ab=-2\times 9=-18$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -18.

$$-1,18 -2,9 -3,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+18=17 -2+9=7 -3+6=3$$

Soluția este perechea care dă suma de 7.

$$a=9 b=-2$$

Rescrieți -2x^{2}+7x+9 ca \left(-2x^{2}+9x\right)+\left(-2x+9\right).

$$\left(-2x^{2}+9x\right)+\left(-2x+9\right)$$

Factor -x în primul și -1 în al doilea grup.

$$-x\left(2x-9\right)-\left(2x-9\right)$$

Scoateți termenul comun 2x-9 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x-9\right)\left(-x-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 2x-9=0 și -x-1=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-1$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2 cu -x^{2}+3x+6.

$$x+2\left(-x^{2}\right)+6x+12-3=0$$

Combinați x cu 6x pentru a obține 7x.

$$7x+2\left(-x^{2}\right)+12-3=0$$

Scădeți 3 din 12 pentru a obține 9.

$$7x+2\left(-x^{2}\right)+9=0$$

Înmulțiți 2 cu -1 pentru a obține -2.

$$7x-2x^{2}+9=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$-2x^{2}+7x+9=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu -2, b cu 7 și c cu 9 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-2\right)\times 9}}{2\left(-2\right)}$$

Ridicați 7 la pătrat.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-2\right)\times 9}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți -4 cu -2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+8\times 9}}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 8 cu 9.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+72}}{2\left(-2\right)}$$

Adunați 49 cu 72.

$$x=\frac{-7±\sqrt{121}}{2\left(-2\right)}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 121.

$$x=\frac{-7±11}{2\left(-2\right)}$$

Înmulțiți 2 cu -2.

$$x=\frac{-7±11}{-4}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-7±11}{-4} atunci când ± este plus. Adunați -7 cu 11.

$$x=\frac{4}{-4}$$

Împărțiți 4 la -4.

$$x=-1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-7±11}{-4} atunci când ± este minus. Scădeți 11 din -7.

$$x=-\frac{18}{-4}$$

Reduceți fracția \frac{-18}{-4} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{9}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=-1 x=\frac{9}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți 2 cu -x^{2}+3x+6.

$$x+2\left(-x^{2}\right)+6x+12-3=0$$

Combinați x cu 6x pentru a obține 7x.

$$7x+2\left(-x^{2}\right)+12-3=0$$

Scădeți 3 din 12 pentru a obține 9.

$$7x+2\left(-x^{2}\right)+9=0$$

Scădeți 9 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$7x+2\left(-x^{2}\right)=-9$$

Înmulțiți 2 cu -1 pentru a obține -2.

$$7x-2x^{2}=-9$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+7x=-9$$

Se împart ambele părți la -2.

$$\frac{-2x^{2}+7x}{-2}=-\frac{9}{-2}$$

Împărțirea la -2 anulează înmulțirea cu -2.

$$x^{2}+\frac{7}{-2}x=-\frac{9}{-2}$$

Împărțiți 7 la -2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=-\frac{9}{-2}$$

Împărțiți -9 la -2.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x=\frac{9}{2}$$

Împărțiți -\frac{7}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{7}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{7}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{2}+\left(-\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{7}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{2}+\frac{49}{16}$$

Adunați \frac{9}{2} cu \frac{49}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{121}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{7}{4}=\frac{11}{4} x-\frac{7}{4}=-\frac{11}{4}$$

Adunați \frac{7}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{9}{2} x=-1$$