Rezolvați t^2:2^4-6t-2^8=0

$$t ^ { 2 } : 2 ^ { 4 } - 6 t - 2 ^ { 8 } = 0$$

Rezolvați pentru t

$$t=-32$$

$$t=128$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Calculați 2 la puterea 4 și obțineți 16.

$$\frac{t^{2}}{16}-6t-2^{8}=0$$

Calculați 2 la puterea 8 și obțineți 256.

$$\frac{t^{2}}{16}-6t-256=0$$

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 16.

$$t^{2}-96t-4096=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factorul t^{2}-96t-4096 utilizând formula t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-96 ab=-4096$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -4096.

$$1,-4096 2,-2048 4,-1024 8,-512 16,-256 32,-128 64,-64$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-4096=-4095 2-2048=-2046 4-1024=-1020 8-512=-504 16-256=-240 32-128=-96 64-64=0$$

Soluția este perechea care dă suma de -96.

$$a=-128 b=32$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(t+a\right)\left(t+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(t-128\right)\left(t+32\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați t-128=0 și t+32=0.

$$t=128 t=-32$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Calculați 2 la puterea 4 și obțineți 16.

$$\frac{t^{2}}{16}-6t-2^{8}=0$$

Calculați 2 la puterea 8 și obțineți 256.

$$\frac{t^{2}}{16}-6t-256=0$$

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 16.

$$t^{2}-96t-4096=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca t^{2}+at+bt-4096. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-96 ab=1\left(-4096\right)=-4096$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -4096.

$$1,-4096 2,-2048 4,-1024 8,-512 16,-256 32,-128 64,-64$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-4096=-4095 2-2048=-2046 4-1024=-1020 8-512=-504 16-256=-240 32-128=-96 64-64=0$$

Soluția este perechea care dă suma de -96.

$$a=-128 b=32$$

Rescrieți t^{2}-96t-4096 ca \left(t^{2}-128t\right)+\left(32t-4096\right).

$$\left(t^{2}-128t\right)+\left(32t-4096\right)$$

Factor t în primul și 32 în al doilea grup.

$$t\left(t-128\right)+32\left(t-128\right)$$

Scoateți termenul comun t-128 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(t-128\right)\left(t+32\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați t-128=0 și t+32=0.

$$t=128 t=-32$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Calculați 2 la puterea 4 și obțineți 16.

$$\frac{t^{2}}{16}-6t-2^{8}=0$$

Calculați 2 la puterea 8 și obțineți 256.

$$\frac{t^{2}}{16}-6t-256=0$$

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 16.

$$t^{2}-96t-4096=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -96 și c cu -4096 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-96\right)±\sqrt{\left(-96\right)^{2}-4\left(-4096\right)}}{2}$$

Ridicați -96 la pătrat.

$$t=\frac{-\left(-96\right)±\sqrt{9216-4\left(-4096\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -4096.

$$t=\frac{-\left(-96\right)±\sqrt{9216+16384}}{2}$$

Adunați 9216 cu 16384.

$$t=\frac{-\left(-96\right)±\sqrt{25600}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 25600.

$$t=\frac{-\left(-96\right)±160}{2}$$

Opusul lui -96 este 96.

$$t=\frac{96±160}{2}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{96±160}{2} atunci când ± este plus. Adunați 96 cu 160.

$$t=\frac{256}{2}$$

Împărțiți 256 la 2.

$$t=128$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{96±160}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 160 din 96.

$$t=-\frac{64}{2}$$

Împărțiți -64 la 2.

$$t=-32$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$t=128 t=-32$$

Pași pentru completarea pătratului

Calculați 2 la puterea 4 și obțineți 16.

$$\frac{t^{2}}{16}-6t-2^{8}=0$$

Calculați 2 la puterea 8 și obțineți 256.

$$\frac{t^{2}}{16}-6t-256=0$$

Adăugați 256 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$\frac{t^{2}}{16}-6t=256$$

Înmulțiți ambele părți ale ecuației cu 16.

$$t^{2}-96t=4096$$

Împărțiți -96, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -48. Apoi, adunați pătratul lui -48 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$t^{2}-96t+\left(-48\right)^{2}=4096+\left(-48\right)^{2}$$

Ridicați -48 la pătrat.

$$t^{2}-96t+2304=4096+2304$$

Adunați 4096 cu 2304.

$$t^{2}-96t+2304=6400$$

Factor t^{2}-96t+2304. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-48\right)^{2}=6400$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(t-48\right)^{2}}=\sqrt{6400}$$

Simplificați.

$$t-48=80 t-48=-80$$

Adunați 48 la ambele părți ale ecuației.

$$t=128 t=-32$$