Rezolvați n^2-4019n+2009^2=0

$$n ^ { 2 } - 4019 n + 2009 ^ { 2 } = 0$$

Rezolvați pentru n

$$n = \frac{3 \sqrt{893} + 4019}{2} \approx 2054,324658392$$

$$n = \frac{4019 - 3 \sqrt{893}}{2} \approx 1964,675341608$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Calculați 2009 la puterea 2 și obțineți 4036081.

$$n^{2}-4019n+4036081=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -4019 și c cu 4036081 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{\left(-4019\right)^{2}-4\times 4036081}}{2}$$

Ridicați -4019 la pătrat.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{16152361-4\times 4036081}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 4036081.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{16152361-16144324}}{2}$$

Adunați 16152361 cu -16144324.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{8037}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 8037.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±3\sqrt{893}}{2}$$

Opusul lui -4019 este 4019.

$$n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2} atunci când ± este plus. Adunați 4019 cu 3\sqrt{893}.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 3\sqrt{893} din 4019.

$$n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Calculați 2009 la puterea 2 și obțineți 4036081.

$$n^{2}-4019n+4036081=0$$

Scădeți 4036081 din ambele părți. Orice se scade din zero dă negativul său.

$$n^{2}-4019n=-4036081$$

Împărțiți -4019, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{4019}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{4019}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$n^{2}-4019n+\left(-\frac{4019}{2}\right)^{2}=-4036081+\left(-\frac{4019}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{4019}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$n^{2}-4019n+\frac{16152361}{4}=-4036081+\frac{16152361}{4}$$

Adunați -4036081 cu \frac{16152361}{4}.

$$n^{2}-4019n+\frac{16152361}{4}=\frac{8037}{4}$$

Factor n^{2}-4019n+\frac{16152361}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{4019}{2}\right)^{2}=\frac{8037}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(n-\frac{4019}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8037}{4}}$$

Simplificați.

$$n-\frac{4019}{2}=\frac{3\sqrt{893}}{2} n-\frac{4019}{2}=-\frac{3\sqrt{893}}{2}$$

Adunați \frac{4019}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$