Rezolvați k^2-4(8k+36)=0

$$k ^ { 2 } - 4 ( 8 k + 36 ) = 0$$

Rezolvați pentru k

$$k=-4$$

$$k=36$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -4 cu 8k+36.

$$k^{2}-32k-144=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factorul k^{2}-32k-144 utilizând formula k^{2}+\left(a+b\right)k+ab=\left(k+a\right)\left(k+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-32 ab=-144$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -144.

$$1,-144 2,-72 3,-48 4,-36 6,-24 8,-18 9,-16 12,-12$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-144=-143 2-72=-70 3-48=-45 4-36=-32 6-24=-18 8-18=-10 9-16=-7 12-12=0$$

Soluția este perechea care dă suma de -32.

$$a=-36 b=4$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(k+a\right)\left(k+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(k-36\right)\left(k+4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați k-36=0 și k+4=0.

$$k=36 k=-4$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -4 cu 8k+36.

$$k^{2}-32k-144=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca k^{2}+ak+bk-144. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-32 ab=1\left(-144\right)=-144$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -144.

$$1,-144 2,-72 3,-48 4,-36 6,-24 8,-18 9,-16 12,-12$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-144=-143 2-72=-70 3-48=-45 4-36=-32 6-24=-18 8-18=-10 9-16=-7 12-12=0$$

Soluția este perechea care dă suma de -32.

$$a=-36 b=4$$

Rescrieți k^{2}-32k-144 ca \left(k^{2}-36k\right)+\left(4k-144\right).

$$\left(k^{2}-36k\right)+\left(4k-144\right)$$

Factor k în primul și 4 în al doilea grup.

$$k\left(k-36\right)+4\left(k-36\right)$$

Scoateți termenul comun k-36 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(k-36\right)\left(k+4\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați k-36=0 și k+4=0.

$$k=36 k=-4$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -4 cu 8k+36.

$$k^{2}-32k-144=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -32 și c cu -144 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$k=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\left(-144\right)}}{2}$$

Ridicați -32 la pătrat.

$$k=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\left(-144\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -144.

$$k=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024+576}}{2}$$

Adunați 1024 cu 576.

$$k=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1600}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1600.

$$k=\frac{-\left(-32\right)±40}{2}$$

Opusul lui -32 este 32.

$$k=\frac{32±40}{2}$$

Acum rezolvați ecuația k=\frac{32±40}{2} atunci când ± este plus. Adunați 32 cu 40.

$$k=\frac{72}{2}$$

Împărțiți 72 la 2.

$$k=36$$

Acum rezolvați ecuația k=\frac{32±40}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 40 din 32.

$$k=-\frac{8}{2}$$

Împărțiți -8 la 2.

$$k=-4$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$k=36 k=-4$$

Pași pentru completarea pătratului

Utilizați proprietatea de distributivitate pentru a înmulți -4 cu 8k+36.

$$k^{2}-32k-144=0$$

Adăugați 144 la ambele părți. Orice număr plus zero este egal cu el însuși.

$$k^{2}-32k=144$$

Împărțiți -32, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -16. Apoi, adunați pătratul lui -16 la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$k^{2}-32k+\left(-16\right)^{2}=144+\left(-16\right)^{2}$$

Ridicați -16 la pătrat.

$$k^{2}-32k+256=144+256$$

Adunați 144 cu 256.

$$k^{2}-32k+256=400$$

Factor k^{2}-32k+256. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k-16\right)^{2}=400$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(k-16\right)^{2}}=\sqrt{400}$$

Simplificați.

$$k-16=20 k-16=-20$$

Adunați 16 la ambele părți ale ecuației.

$$k=36 k=-4$$