Rezolvați g(x)=x^4-7x^3+12x^2+4x-16

$$g ( x ) = x ^ { 4 } - 7 x ^ { 3 } + 12 x ^ { 2 } + 4 x - 16$$

Descompunere în factori

$$\left(x-4\right)\left(x+1\right)\left(x-2\right)^{2}$$

Pașii soluției

Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant -16 și q împarte coeficientul inițial 1. O astfel de rădăcină este 4. Descompuneți în factori polinomul împărțindu-l la x-4.

$$\left(x-4\right)\left(x^{3}-3x^{2}+4\right)$$

Să luăm x^{3}-3x^{2}+4. Conform teoremei rădăcinii raționale, toate rădăcinile raționale ale unui polinom sunt de forma \frac{p}{q}, unde p împarte termenul constant 4 și q împarte coeficientul inițial 1. O astfel de rădăcină este 2. Descompuneți în factori polinomul împărțindu-l la x-2.

$$\left(x-2\right)\left(x^{2}-x-2\right)$$

Să luăm x^{2}-x-2. Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca x^{2}+ax+bx-2. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-1 ab=1\left(-2\right)=-2$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Singura astfel de pereche este soluția de sistem.

$$a=-2 b=1$$

Rescrieți x^{2}-x-2 ca \left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right).

$$\left(x^{2}-2x\right)+\left(x-2\right)$$

Scoateți factorul comun x din x^{2}-2x.

$$x\left(x-2\right)+x-2$$

Scoateți termenul comun x-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-2\right)\left(x+1\right)$$

Rescrieți expresia completă descompusă în factori.

$$\left(x-4\right)\left(x+1\right)\left(x-2\right)^{2}$$

Evaluați

$$\left(x-4\right)\left(x+1\right)\left(x-2\right)^{2}$$