Rezolvați f^2-3f=-5

$$f ^ { 2 } - 3 f = - 5$$

Rezolvați pentru f

$$f=\frac{3+\sqrt{11}i}{2}\approx 1,5+1,658312395i$$

$$f=\frac{-\sqrt{11}i+3}{2}\approx 1,5-1,658312395i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$f^{2}-3f=-5$$

Adunați 5 la ambele părți ale ecuației.

$$f^{2}-3f-\left(-5\right)=-5-\left(-5\right)$$

Scăderea -5 din el însuși are ca rezultat 0.

$$f^{2}-3f-\left(-5\right)=0$$

Scădeți -5 din 0.

$$f^{2}-3f+5=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -3 și c cu 5 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$f=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 5}}{2}$$

Ridicați -3 la pătrat.

$$f=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 5}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$f=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-20}}{2}$$

Adunați 9 cu -20.

$$f=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{-11}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -11.

$$f=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{11}i}{2}$$

Opusul lui -3 este 3.

$$f=\frac{3±\sqrt{11}i}{2}$$

Acum rezolvați ecuația f=\frac{3±\sqrt{11}i}{2} atunci când ± este plus. Adunați 3 cu i\sqrt{11}.

$$f=\frac{3+\sqrt{11}i}{2}$$

Acum rezolvați ecuația f=\frac{3±\sqrt{11}i}{2} atunci când ± este minus. Scădeți i\sqrt{11} din 3.

$$f=\frac{-\sqrt{11}i+3}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$f=\frac{3+\sqrt{11}i}{2} f=\frac{-\sqrt{11}i+3}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$f^{2}-3f=-5$$

Împărțiți -3, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$f^{2}-3f+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-5+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$f^{2}-3f+\frac{9}{4}=-5+\frac{9}{4}$$

Adunați -5 cu \frac{9}{4}.

$$f^{2}-3f+\frac{9}{4}=-\frac{11}{4}$$

Factor f^{2}-3f+\frac{9}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(f-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(f-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{4}}$$

Simplificați.

$$f-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{11}i}{2} f-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{11}i}{2}$$

Adunați \frac{3}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$f=\frac{3+\sqrt{11}i}{2} f=\frac{-\sqrt{11}i+3}{2}$$