Rezolvați a^2-5a-24=0

$$a ^ { 2 } - 5 a - 24 = 0$$

Rezolvați pentru a

$$a=-3$$

$$a=8$$

Pași utilizând descompunerea în factori

Pentru a rezolva ecuația, factorul a^{2}-5a-24 utilizând formula a^{2}+\left(a+b\right)a+ab=\left(a+a\right)\left(a+b\right). Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-5 ab=-24$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Soluția este perechea care dă suma de -5.

$$a=-8 b=3$$

Rescrieți expresia descompusă în factori \left(a+a\right)\left(a+b\right) utilizând valorile obținute.

$$\left(a-8\right)\left(a+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați a-8=0 și a+3=0.

$$a=8 a=-3$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca a^{2}+aa+ba-24. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-5 ab=1\left(-24\right)=-24$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

Soluția este perechea care dă suma de -5.

$$a=-8 b=3$$

Rescrieți a^{2}-5a-24 ca \left(a^{2}-8a\right)+\left(3a-24\right).

$$\left(a^{2}-8a\right)+\left(3a-24\right)$$

Factor a în primul și 3 în al doilea grup.

$$a\left(a-8\right)+3\left(a-8\right)$$

Scoateți termenul comun a-8 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(a-8\right)\left(a+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați a-8=0 și a+3=0.

$$a=8 a=-3$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$a^{2}-5a-24=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 1, b cu -5 și c cu -24 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-24\right)}}{2}$$

Ridicați -5 la pătrat.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-24\right)}}{2}$$

Înmulțiți -4 cu -24.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+96}}{2}$$

Adunați 25 cu 96.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{121}}{2}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 121.

$$a=\frac{-\left(-5\right)±11}{2}$$

Opusul lui -5 este 5.

$$a=\frac{5±11}{2}$$

Acum rezolvați ecuația a=\frac{5±11}{2} atunci când ± este plus. Adunați 5 cu 11.

$$a=\frac{16}{2}$$

Împărțiți 16 la 2.

$$a=8$$

Acum rezolvați ecuația a=\frac{5±11}{2} atunci când ± este minus. Scădeți 11 din 5.

$$a=-\frac{6}{2}$$

Împărțiți -6 la 2.

$$a=-3$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$a=8 a=-3$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$a^{2}-5a-24=0$$

Adunați 24 la ambele părți ale ecuației.

$$a^{2}-5a-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Scăderea -24 din el însuși are ca rezultat 0.

$$a^{2}-5a=-\left(-24\right)$$

Scădeți -24 din 0.

$$a^{2}-5a=24$$

Împărțiți -5, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{2}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$a^{2}-5a+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=24+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{2} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$a^{2}-5a+\frac{25}{4}=24+\frac{25}{4}$$

Adunați 24 cu \frac{25}{4}.

$$a^{2}-5a+\frac{25}{4}=\frac{121}{4}$$

Factor a^{2}-5a+\frac{25}{4}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(a-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Simplificați.

$$a-\frac{5}{2}=\frac{11}{2} a-\frac{5}{2}=-\frac{11}{2}$$

Adunați \frac{5}{2} la ambele părți ale ecuației.

$$a=8 a=-3$$