Rezolvați 9y^2+75y-54

$$9 y ^ { 2 } + 75 y - 54$$

Descompunere în factori

$$3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

Pașii soluției

Scoateți factorul comun 3.

$$3\left(3y^{2}+25y-18\right)$$

Să luăm 3y^{2}+25y-18. Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 3y^{2}+ay+by-18. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=25 ab=3\left(-18\right)=-54$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -54.

$$-1,54 -2,27 -3,18 -6,9$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+54=53 -2+27=25 -3+18=15 -6+9=3$$

Soluția este perechea care dă suma de 25.

$$a=-2 b=27$$

Rescrieți 3y^{2}+25y-18 ca \left(3y^{2}-2y\right)+\left(27y-18\right).

$$\left(3y^{2}-2y\right)+\left(27y-18\right)$$

Factor y în primul și 9 în al doilea grup.

$$y\left(3y-2\right)+9\left(3y-2\right)$$

Scoateți termenul comun 3y-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

Rescrieți expresia completă descompusă în factori.

$$3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$9y^{2}+75y-54=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$y=\frac{-75±\sqrt{75^{2}-4\times 9\left(-54\right)}}{2\times 9}$$

Ridicați 75 la pătrat.

$$y=\frac{-75±\sqrt{5625-4\times 9\left(-54\right)}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -4 cu 9.

$$y=\frac{-75±\sqrt{5625-36\left(-54\right)}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -36 cu -54.

$$y=\frac{-75±\sqrt{5625+1944}}{2\times 9}$$

Adunați 5625 cu 1944.

$$y=\frac{-75±\sqrt{7569}}{2\times 9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 7569.

$$y=\frac{-75±87}{2\times 9}$$

Înmulțiți 2 cu 9.

$$y=\frac{-75±87}{18}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-75±87}{18} atunci când ± este plus. Adunați -75 cu 87.

$$y=\frac{12}{18}$$

Reduceți fracția \frac{12}{18} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$y=\frac{2}{3}$$

Acum rezolvați ecuația y=\frac{-75±87}{18} atunci când ± este minus. Scădeți 87 din -75.

$$y=-\frac{162}{18}$$

Împărțiți -162 la 18.

$$y=-9$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{2}{3} și x_{2} cu -9.

$$9y^{2}+75y-54=9\left(y-\frac{2}{3}\right)\left(y-\left(-9\right)\right)$$

Simplificați toate expresiile formei p-\left(-q\right) la p+q.

$$9y^{2}+75y-54=9\left(y-\frac{2}{3}\right)\left(y+9\right)$$

Scădeți \frac{2}{3} din y găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$9y^{2}+75y-54=9\times \frac{3y-2}{3}\left(y+9\right)$$

Simplificați cu 3, cel mai mare factor comun din 9 și 3.

$$9y^{2}+75y-54=3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$

Evaluați

$$3\left(3y-2\right)\left(y+9\right)$$