Rezolvați 9x^2-5x+4=0

$$9 x ^ { 2 } - 5 x + 4 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{5+\sqrt{119}i}{18}\approx 0,277777778+0,606039562i$$

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+5}{18}\approx 0,277777778-0,606039562i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$9x^{2}-5x+4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 9, b cu -5 și c cu 4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Ridicați -5 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -4 cu 9.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-36\times 4}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -36 cu 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-144}}{2\times 9}$$

Adunați 25 cu -144.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-119}}{2\times 9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -119.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{119}i}{2\times 9}$$

Opusul lui -5 este 5.

$$x=\frac{5±\sqrt{119}i}{2\times 9}$$

Înmulțiți 2 cu 9.

$$x=\frac{5±\sqrt{119}i}{18}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±\sqrt{119}i}{18} atunci când ± este plus. Adunați 5 cu i\sqrt{119}.

$$x=\frac{5+\sqrt{119}i}{18}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{5±\sqrt{119}i}{18} atunci când ± este minus. Scădeți i\sqrt{119} din 5.

$$x=\frac{-\sqrt{119}i+5}{18}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{5+\sqrt{119}i}{18} x=\frac{-\sqrt{119}i+5}{18}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-5x+4=0$$

Scădeți 4 din ambele părți ale ecuației.

$$9x^{2}-5x+4-4=-4$$

Scăderea 4 din el însuși are ca rezultat 0.

$$9x^{2}-5x=-4$$

Se împart ambele părți la 9.

$$\frac{9x^{2}-5x}{9}=-\frac{4}{9}$$

Împărțirea la 9 anulează înmulțirea cu 9.

$$x^{2}-\frac{5}{9}x=-\frac{4}{9}$$

Împărțiți -\frac{5}{9}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{5}{18}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{5}{18} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{5}{9}x+\left(-\frac{5}{18}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{5}{18}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{5}{18} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=-\frac{4}{9}+\frac{25}{324}$$

Adunați -\frac{4}{9} cu \frac{25}{324} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}=-\frac{119}{324}$$

Factor x^{2}-\frac{5}{9}x+\frac{25}{324}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{18}\right)^{2}=-\frac{119}{324}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{18}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{119}{324}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{5}{18}=\frac{\sqrt{119}i}{18} x-\frac{5}{18}=-\frac{\sqrt{119}i}{18}$$

Adunați \frac{5}{18} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{5+\sqrt{119}i}{18} x=\frac{-\sqrt{119}i+5}{18}$$