Rezolvați 9x^2-19x-24=0

$$9 x ^ { 2 } - 19 x - 24 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{8}{9}\approx -0,888888889$$

$$x=3$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 9x^{2}+ax+bx-24. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-19 ab=9\left(-24\right)=-216$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -216.

$$1,-216 2,-108 3,-72 4,-54 6,-36 8,-27 9,-24 12,-18$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-216=-215 2-108=-106 3-72=-69 4-54=-50 6-36=-30 8-27=-19 9-24=-15 12-18=-6$$

Soluția este perechea care dă suma de -19.

$$a=-27 b=8$$

Rescrieți 9x^{2}-19x-24 ca \left(9x^{2}-27x\right)+\left(8x-24\right).

$$\left(9x^{2}-27x\right)+\left(8x-24\right)$$

Factor 9x în primul și 8 în al doilea grup.

$$9x\left(x-3\right)+8\left(x-3\right)$$

Scoateți termenul comun x-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-3\right)\left(9x+8\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-3=0 și 9x+8=0.

$$x=3 x=-\frac{8}{9}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$9x^{2}-19x-24=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 9, b cu -19 și c cu -24 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 9\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

Ridicați -19 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 9\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -4 cu 9.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-36\left(-24\right)}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -36 cu -24.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361+864}}{2\times 9}$$

Adunați 361 cu 864.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{1225}}{2\times 9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1225.

$$x=\frac{-\left(-19\right)±35}{2\times 9}$$

Opusul lui -19 este 19.

$$x=\frac{19±35}{2\times 9}$$

Înmulțiți 2 cu 9.

$$x=\frac{19±35}{18}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{19±35}{18} atunci când ± este plus. Adunați 19 cu 35.

$$x=\frac{54}{18}$$

Împărțiți 54 la 18.

$$x=3$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{19±35}{18} atunci când ± este minus. Scădeți 35 din 19.

$$x=-\frac{16}{18}$$

Reduceți fracția \frac{-16}{18} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=-\frac{8}{9}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=3 x=-\frac{8}{9}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$9x^{2}-19x-24=0$$

Adunați 24 la ambele părți ale ecuației.

$$9x^{2}-19x-24-\left(-24\right)=-\left(-24\right)$$

Scăderea -24 din el însuși are ca rezultat 0.

$$9x^{2}-19x=-\left(-24\right)$$

Scădeți -24 din 0.

$$9x^{2}-19x=24$$

Se împart ambele părți la 9.

$$\frac{9x^{2}-19x}{9}=\frac{24}{9}$$

Împărțirea la 9 anulează înmulțirea cu 9.

$$x^{2}-\frac{19}{9}x=\frac{24}{9}$$

Reduceți fracția \frac{24}{9} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$x^{2}-\frac{19}{9}x=\frac{8}{3}$$

Împărțiți -\frac{19}{9}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{19}{18}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{19}{18} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{19}{9}x+\left(-\frac{19}{18}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(-\frac{19}{18}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{19}{18} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{19}{9}x+\frac{361}{324}=\frac{8}{3}+\frac{361}{324}$$

Adunați \frac{8}{3} cu \frac{361}{324} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{19}{9}x+\frac{361}{324}=\frac{1225}{324}$$

Factor x^{2}-\frac{19}{9}x+\frac{361}{324}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{18}\right)^{2}=\frac{1225}{324}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1225}{324}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{19}{18}=\frac{35}{18} x-\frac{19}{18}=-\frac{35}{18}$$

Adunați \frac{19}{18} la ambele părți ale ecuației.

$$x=3 x=-\frac{8}{9}$$