Rezolvați 9y^2=12y-4

$$9 { y }^{ 2 } = 12y-4$$

Rezolvați pentru y

$$y=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 12y din ambele părți.

$$9y^{2}-12y=-4$$

Adăugați 4 la ambele părți.

$$9y^{2}-12y+4=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 9y^{2}+ay+by+4. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-12 ab=9\times 4=36$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 36.

$$-1,-36 -2,-18 -3,-12 -4,-9 -6,-6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-36=-37 -2-18=-20 -3-12=-15 -4-9=-13 -6-6=-12$$

Soluția este perechea care dă suma de -12.

$$a=-6 b=-6$$

Rescrieți 9y^{2}-12y+4 ca \left(9y^{2}-6y\right)+\left(-6y+4\right).

$$\left(9y^{2}-6y\right)+\left(-6y+4\right)$$

Factor 3y în primul și -2 în al doilea grup.

$$3y\left(3y-2\right)-2\left(3y-2\right)$$

Scoateți termenul comun 3y-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3y-2\right)\left(3y-2\right)$$

Rescrieți ca binom pătrat.

$$\left(3y-2\right)^{2}$$

Pentru a găsi soluția ecuației, rezolvați 3y-2=0.

$$y=\frac{2}{3}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Scădeți 12y din ambele părți.

$$9y^{2}-12y=-4$$

Adăugați 4 la ambele părți.

$$9y^{2}-12y+4=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 9, b cu -12 și c cu 4 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Ridicați -12 la pătrat.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 4}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -4 cu 9.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 4}}{2\times 9}$$

Înmulțiți -36 cu 4.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-144}}{2\times 9}$$

Adunați 144 cu -144.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{0}}{2\times 9}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 0.

$$y=-\frac{-12}{2\times 9}$$

Opusul lui -12 este 12.

$$y=\frac{12}{2\times 9}$$

Înmulțiți 2 cu 9.

$$y=\frac{12}{18}$$

Reduceți fracția \frac{12}{18} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$y=\frac{2}{3}$$

Pași pentru completarea pătratului

Scădeți 12y din ambele părți.

$$9y^{2}-12y=-4$$

Se împart ambele părți la 9.

$$\frac{9y^{2}-12y}{9}=-\frac{4}{9}$$

Împărțirea la 9 anulează înmulțirea cu 9.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)y=-\frac{4}{9}$$

Reduceți fracția \frac{-12}{9} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y=-\frac{4}{9}$$

Împărțiți -\frac{4}{3}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{2}{3}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{2}{3} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{4}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{2}{3} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{-4+4}{9}$$

Adunați -\frac{4}{9} cu \frac{4}{9} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=0$$

Factor y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}=0$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplificați.

$$y-\frac{2}{3}=0 y-\frac{2}{3}=0$$

Adunați \frac{2}{3} la ambele părți ale ecuației.

$$y=\frac{2}{3} y=\frac{2}{3}$$

Ecuația este rezolvată acum. Soluțiile sunt la fel.

$$y=\frac{2}{3}$$