Rezolvați 8x^2=9x-1

$$8 x ^ { 2 } = 9 x - 1$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{1}{8}=0,125$$

$$x=1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 9x din ambele părți.

$$8x^{2}-9x=-1$$

Adăugați 1 la ambele părți.

$$8x^{2}-9x+1=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 8x^{2}+ax+bx+1. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-9 ab=8\times 1=8$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 8.

$$-1,-8 -2,-4$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-8=-9 -2-4=-6$$

Soluția este perechea care dă suma de -9.

$$a=-8 b=-1$$

Rescrieți 8x^{2}-9x+1 ca \left(8x^{2}-8x\right)+\left(-x+1\right).

$$\left(8x^{2}-8x\right)+\left(-x+1\right)$$

Factor 8x în primul și -1 în al doilea grup.

$$8x\left(x-1\right)-\left(x-1\right)$$

Scoateți termenul comun x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-1\right)\left(8x-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-1=0 și 8x-1=0.

$$x=1 x=\frac{1}{8}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Scădeți 9x din ambele părți.

$$8x^{2}-9x=-1$$

Adăugați 1 la ambele părți.

$$8x^{2}-9x+1=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 8, b cu -9 și c cu 1 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 8}}{2\times 8}$$

Ridicați -9 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 8}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -4 cu 8.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-32}}{2\times 8}$$

Adunați 81 cu -32.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{49}}{2\times 8}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 49.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±7}{2\times 8}$$

Opusul lui -9 este 9.

$$x=\frac{9±7}{2\times 8}$$

Înmulțiți 2 cu 8.

$$x=\frac{9±7}{16}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{9±7}{16} atunci când ± este plus. Adunați 9 cu 7.

$$x=\frac{16}{16}$$

Împărțiți 16 la 16.

$$x=1$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{9±7}{16} atunci când ± este minus. Scădeți 7 din 9.

$$x=\frac{2}{16}$$

Reduceți fracția \frac{2}{16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{1}{8}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=1 x=\frac{1}{8}$$

Pași pentru completarea pătratului

Scădeți 9x din ambele părți.

$$8x^{2}-9x=-1$$

Se împart ambele părți la 8.

$$\frac{8x^{2}-9x}{8}=-\frac{1}{8}$$

Împărțirea la 8 anulează înmulțirea cu 8.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x=-\frac{1}{8}$$

Împărțiți -\frac{9}{8}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{9}{16}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{9}{16} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x+\left(-\frac{9}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{8}+\left(-\frac{9}{16}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{9}{16} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x+\frac{81}{256}=-\frac{1}{8}+\frac{81}{256}$$

Adunați -\frac{1}{8} cu \frac{81}{256} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{9}{8}x+\frac{81}{256}=\frac{49}{256}$$

Factor x^{2}-\frac{9}{8}x+\frac{81}{256}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{16}\right)^{2}=\frac{49}{256}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{256}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{9}{16}=\frac{7}{16} x-\frac{9}{16}=-\frac{7}{16}$$

Adunați \frac{9}{16} la ambele părți ale ecuației.

$$x=1 x=\frac{1}{8}$$