Rezolvați 8x^2+2x=21

$$8 x ^ { 2 } + 2 x = 21$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{7}{4} = -1\frac{3}{4} = -1,75$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 21 din ambele părți.

$$8x^{2}+2x-21=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 8x^{2}+ax+bx-21. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=2 ab=8\left(-21\right)=-168$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -168.

$$-1,168 -2,84 -3,56 -4,42 -6,28 -7,24 -8,21 -12,14$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+168=167 -2+84=82 -3+56=53 -4+42=38 -6+28=22 -7+24=17 -8+21=13 -12+14=2$$

Soluția este perechea care dă suma de 2.

$$a=-12 b=14$$

Rescrieți 8x^{2}+2x-21 ca \left(8x^{2}-12x\right)+\left(14x-21\right).

$$\left(8x^{2}-12x\right)+\left(14x-21\right)$$

Factor 4x în primul și 7 în al doilea grup.

$$4x\left(2x-3\right)+7\left(2x-3\right)$$

Scoateți termenul comun 2x-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x-3\right)\left(4x+7\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 2x-3=0 și 4x+7=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$8x^{2}+2x=21$$

Scădeți 21 din ambele părți ale ecuației.

$$8x^{2}+2x-21=21-21$$

Scăderea 21 din el însuși are ca rezultat 0.

$$8x^{2}+2x-21=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 8, b cu 2 și c cu -21 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 8\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

Ridicați 2 la pătrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 8\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -4 cu 8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-32\left(-21\right)}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -32 cu -21.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+672}}{2\times 8}$$

Adunați 4 cu 672.

$$x=\frac{-2±\sqrt{676}}{2\times 8}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 676.

$$x=\frac{-2±26}{2\times 8}$$

Înmulțiți 2 cu 8.

$$x=\frac{-2±26}{16}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±26}{16} atunci când ± este plus. Adunați -2 cu 26.

$$x=\frac{24}{16}$$

Reduceți fracția \frac{24}{16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$x=\frac{3}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±26}{16} atunci când ± este minus. Scădeți 26 din -2.

$$x=-\frac{28}{16}$$

Reduceți fracția \frac{-28}{16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=-\frac{7}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{7}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+2x=21$$

Se împart ambele părți la 8.

$$\frac{8x^{2}+2x}{8}=\frac{21}{8}$$

Împărțirea la 8 anulează înmulțirea cu 8.

$$x^{2}+\frac{2}{8}x=\frac{21}{8}$$

Reduceți fracția \frac{2}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{21}{8}$$

Împărțiți \frac{1}{4}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{8}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{8} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{21}{8}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{8} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{21}{8}+\frac{1}{64}$$

Adunați \frac{21}{8} cu \frac{1}{64} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{169}{64}$$

Factor x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{169}{64}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{64}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{13}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{13}{8}$$

Scădeți \frac{1}{8} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{7}{4}$$