Rezolvați 8x^2+2x-3=0

$$8 { x }^{ 2 } +2x-3=0$$

Rezolvați pentru x

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=\frac{1}{2}=0,5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 8x^{2}+ax+bx-3. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=2 ab=8\left(-3\right)=-24$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

Soluția este perechea care dă suma de 2.

$$a=-4 b=6$$

Rescrieți 8x^{2}+2x-3 ca \left(8x^{2}-4x\right)+\left(6x-3\right).

$$\left(8x^{2}-4x\right)+\left(6x-3\right)$$

Factor 4x în primul și 3 în al doilea grup.

$$4x\left(2x-1\right)+3\left(2x-1\right)$$

Scoateți termenul comun 2x-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x-1\right)\left(4x+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 2x-1=0 și 4x+3=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{3}{4}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$8x^{2}+2x-3=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 8, b cu 2 și c cu -3 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 8\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Ridicați 2 la pătrat.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 8\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -4 cu 8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-32\left(-3\right)}}{2\times 8}$$

Înmulțiți -32 cu -3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+96}}{2\times 8}$$

Adunați 4 cu 96.

$$x=\frac{-2±\sqrt{100}}{2\times 8}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 100.

$$x=\frac{-2±10}{2\times 8}$$

Înmulțiți 2 cu 8.

$$x=\frac{-2±10}{16}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±10}{16} atunci când ± este plus. Adunați -2 cu 10.

$$x=\frac{8}{16}$$

Reduceți fracția \frac{8}{16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 8.

$$x=\frac{1}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-2±10}{16} atunci când ± este minus. Scădeți 10 din -2.

$$x=-\frac{12}{16}$$

Reduceți fracția \frac{-12}{16} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{3}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$8x^{2}+2x-3=0$$

Adunați 3 la ambele părți ale ecuației.

$$8x^{2}+2x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Scăderea -3 din el însuși are ca rezultat 0.

$$8x^{2}+2x=-\left(-3\right)$$

Scădeți -3 din 0.

$$8x^{2}+2x=3$$

Se împart ambele părți la 8.

$$\frac{8x^{2}+2x}{8}=\frac{3}{8}$$

Împărțirea la 8 anulează înmulțirea cu 8.

$$x^{2}+\frac{2}{8}x=\frac{3}{8}$$

Reduceți fracția \frac{2}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=\frac{3}{8}$$

Împărțiți \frac{1}{4}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{8}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{8} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{3}{8}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{8} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{3}{8}+\frac{1}{64}$$

Adunați \frac{3}{8} cu \frac{1}{64} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=\frac{25}{64}$$

Factor x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{5}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{5}{8}$$

Scădeți \frac{1}{8} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{3}{4}$$