Rezolvați 7+4x+5x^2=0

$$7+4x+5 { x }^{ 2 } = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{-2+\sqrt{31}i}{5}\approx -0,4+1,113552873i$$

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-2}{5}\approx -0,4-1,113552873i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$5x^{2}+4x+7=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 5, b cu 4 și c cu 7 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 5\times 7}}{2\times 5}$$

Ridicați 4 la pătrat.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 5\times 7}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -4 cu 5.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-20\times 7}}{2\times 5}$$

Înmulțiți -20 cu 7.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-140}}{2\times 5}$$

Adunați 16 cu -140.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-124}}{2\times 5}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -124.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{31}i}{2\times 5}$$

Înmulțiți 2 cu 5.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{31}i}{10}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-4±2\sqrt{31}i}{10} atunci când ± este plus. Adunați -4 cu 2i\sqrt{31}.

$$x=\frac{-4+2\sqrt{31}i}{10}$$

Împărțiți -4+2i\sqrt{31} la 10.

$$x=\frac{-2+\sqrt{31}i}{5}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-4±2\sqrt{31}i}{10} atunci când ± este minus. Scădeți 2i\sqrt{31} din -4.

$$x=\frac{-2\sqrt{31}i-4}{10}$$

Împărțiți -4-2i\sqrt{31} la 10.

$$x=\frac{-\sqrt{31}i-2}{5}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{-2+\sqrt{31}i}{5} x=\frac{-\sqrt{31}i-2}{5}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$5x^{2}+4x+7=0$$

Scădeți 7 din ambele părți ale ecuației.

$$5x^{2}+4x+7-7=-7$$

Scăderea 7 din el însuși are ca rezultat 0.

$$5x^{2}+4x=-7$$

Se împart ambele părți la 5.

$$\frac{5x^{2}+4x}{5}=-\frac{7}{5}$$

Împărțirea la 5 anulează înmulțirea cu 5.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x=-\frac{7}{5}$$

Împărțiți \frac{4}{5}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{2}{5}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{2}{5} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{7}{5}+\left(\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{2}{5} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{7}{5}+\frac{4}{25}$$

Adunați -\frac{7}{5} cu \frac{4}{25} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=-\frac{31}{25}$$

Factor x^{2}+\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}=-\frac{31}{25}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{31}{25}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{2}{5}=\frac{\sqrt{31}i}{5} x+\frac{2}{5}=-\frac{\sqrt{31}i}{5}$$

Scădeți \frac{2}{5} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{-2+\sqrt{31}i}{5} x=\frac{-\sqrt{31}i-2}{5}$$