Rezolvați 7x^2-36x+5=0

$$7 x ^ { 2 } - 36 x + 5 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x=\frac{1}{7}\approx 0,142857143$$

$$x=5$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 7x^{2}+ax+bx+5. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-36 ab=7\times 5=35$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 35.

$$-1,-35 -5,-7$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-35=-36 -5-7=-12$$

Soluția este perechea care dă suma de -36.

$$a=-35 b=-1$$

Rescrieți 7x^{2}-36x+5 ca \left(7x^{2}-35x\right)+\left(-x+5\right).

$$\left(7x^{2}-35x\right)+\left(-x+5\right)$$

Factor 7x în primul și -1 în al doilea grup.

$$7x\left(x-5\right)-\left(x-5\right)$$

Scoateți termenul comun x-5 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-5\right)\left(7x-1\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-5=0 și 7x-1=0.

$$x=5 x=\frac{1}{7}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$7x^{2}-36x+5=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 7, b cu -36 și c cu 5 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{\left(-36\right)^{2}-4\times 7\times 5}}{2\times 7}$$

Ridicați -36 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-4\times 7\times 5}}{2\times 7}$$

Înmulțiți -4 cu 7.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-28\times 5}}{2\times 7}$$

Înmulțiți -28 cu 5.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1296-140}}{2\times 7}$$

Adunați 1296 cu -140.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±\sqrt{1156}}{2\times 7}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1156.

$$x=\frac{-\left(-36\right)±34}{2\times 7}$$

Opusul lui -36 este 36.

$$x=\frac{36±34}{2\times 7}$$

Înmulțiți 2 cu 7.

$$x=\frac{36±34}{14}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{36±34}{14} atunci când ± este plus. Adunați 36 cu 34.

$$x=\frac{70}{14}$$

Împărțiți 70 la 14.

$$x=5$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{36±34}{14} atunci când ± este minus. Scădeți 34 din 36.

$$x=\frac{2}{14}$$

Reduceți fracția \frac{2}{14} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x=\frac{1}{7}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=5 x=\frac{1}{7}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-36x+5=0$$

Scădeți 5 din ambele părți ale ecuației.

$$7x^{2}-36x+5-5=-5$$

Scăderea 5 din el însuși are ca rezultat 0.

$$7x^{2}-36x=-5$$

Se împart ambele părți la 7.

$$\frac{7x^{2}-36x}{7}=-\frac{5}{7}$$

Împărțirea la 7 anulează înmulțirea cu 7.

$$x^{2}-\frac{36}{7}x=-\frac{5}{7}$$

Împărțiți -\frac{36}{7}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{18}{7}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{18}{7} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{36}{7}x+\left(-\frac{18}{7}\right)^{2}=-\frac{5}{7}+\left(-\frac{18}{7}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{18}{7} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{36}{7}x+\frac{324}{49}=-\frac{5}{7}+\frac{324}{49}$$

Adunați -\frac{5}{7} cu \frac{324}{49} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{36}{7}x+\frac{324}{49}=\frac{289}{49}$$

Factor x^{2}-\frac{36}{7}x+\frac{324}{49}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{18}{7}\right)^{2}=\frac{289}{49}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{18}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{49}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{18}{7}=\frac{17}{7} x-\frac{18}{7}=-\frac{17}{7}$$

Adunați \frac{18}{7} la ambele părți ale ecuației.

$$x=5 x=\frac{1}{7}$$