Rezolvați 7x^2-12x+8=0

$$7 x ^ { 2 } - 12 x + 8 = 0$$

Rezolvați pentru x (complex solution)

$$x=\frac{6+2\sqrt{5}i}{7}\approx 0,857142857+0,638876565i$$

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+6}{7}\approx 0,857142857-0,638876565i$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$7x^{2}-12x+8=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 7, b cu -12 și c cu 8 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 7\times 8}}{2\times 7}$$

Ridicați -12 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 7\times 8}}{2\times 7}$$

Înmulțiți -4 cu 7.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-28\times 8}}{2\times 7}$$

Înmulțiți -28 cu 8.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-224}}{2\times 7}$$

Adunați 144 cu -224.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{-80}}{2\times 7}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru -80.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±4\sqrt{5}i}{2\times 7}$$

Opusul lui -12 este 12.

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{2\times 7}$$

Înmulțiți 2 cu 7.

$$x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{14}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{14} atunci când ± este plus. Adunați 12 cu 4i\sqrt{5}.

$$x=\frac{12+4\sqrt{5}i}{14}$$

Împărțiți 12+4i\sqrt{5} la 14.

$$x=\frac{6+2\sqrt{5}i}{7}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{12±4\sqrt{5}i}{14} atunci când ± este minus. Scădeți 4i\sqrt{5} din 12.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}i+12}{14}$$

Împărțiți 12-4i\sqrt{5} la 14.

$$x=\frac{-2\sqrt{5}i+6}{7}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{6+2\sqrt{5}i}{7} x=\frac{-2\sqrt{5}i+6}{7}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$7x^{2}-12x+8=0$$

Scădeți 8 din ambele părți ale ecuației.

$$7x^{2}-12x+8-8=-8$$

Scăderea 8 din el însuși are ca rezultat 0.

$$7x^{2}-12x=-8$$

Se împart ambele părți la 7.

$$\frac{7x^{2}-12x}{7}=-\frac{8}{7}$$

Împărțirea la 7 anulează înmulțirea cu 7.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x=-\frac{8}{7}$$

Împărțiți -\frac{12}{7}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{6}{7}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{6}{7} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x+\left(-\frac{6}{7}\right)^{2}=-\frac{8}{7}+\left(-\frac{6}{7}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{6}{7} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x+\frac{36}{49}=-\frac{8}{7}+\frac{36}{49}$$

Adunați -\frac{8}{7} cu \frac{36}{49} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{12}{7}x+\frac{36}{49}=-\frac{20}{49}$$

Factor x^{2}-\frac{12}{7}x+\frac{36}{49}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{6}{7}\right)^{2}=-\frac{20}{49}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6}{7}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{20}{49}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{6}{7}=\frac{2\sqrt{5}i}{7} x-\frac{6}{7}=-\frac{2\sqrt{5}i}{7}$$

Adunați \frac{6}{7} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{6+2\sqrt{5}i}{7} x=\frac{-2\sqrt{5}i+6}{7}$$