Rezolvați 7t^2-32t+12=0

$$7 t ^ { 2 } - 32 t + 12 = 0$$

Rezolvați pentru t

$$t = \frac{2 \sqrt{43} + 16}{7} \approx 4,15926815$$

$$t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}\approx 0,412160422$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$7t^{2}-32t+12=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 7, b cu -32 și c cu 12 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 7\times 12}}{2\times 7}$$

Ridicați -32 la pătrat.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 7\times 12}}{2\times 7}$$

Înmulțiți -4 cu 7.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-28\times 12}}{2\times 7}$$

Înmulțiți -28 cu 12.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-336}}{2\times 7}$$

Adunați 1024 cu -336.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{688}}{2\times 7}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 688.

$$t=\frac{-\left(-32\right)±4\sqrt{43}}{2\times 7}$$

Opusul lui -32 este 32.

$$t=\frac{32±4\sqrt{43}}{2\times 7}$$

Înmulțiți 2 cu 7.

$$t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14} atunci când ± este plus. Adunați 32 cu 4\sqrt{43}.

$$t=\frac{4\sqrt{43}+32}{14}$$

Împărțiți 32+4\sqrt{43} la 14.

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7}$$

Acum rezolvați ecuația t=\frac{32±4\sqrt{43}}{14} atunci când ± este minus. Scădeți 4\sqrt{43} din 32.

$$t=\frac{32-4\sqrt{43}}{14}$$

Împărțiți 32-4\sqrt{43} la 14.

$$t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7} t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$7t^{2}-32t+12=0$$

Scădeți 12 din ambele părți ale ecuației.

$$7t^{2}-32t+12-12=-12$$

Scăderea 12 din el însuși are ca rezultat 0.

$$7t^{2}-32t=-12$$

Se împart ambele părți la 7.

$$\frac{7t^{2}-32t}{7}=-\frac{12}{7}$$

Împărțirea la 7 anulează înmulțirea cu 7.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t=-\frac{12}{7}$$

Împărțiți -\frac{32}{7}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{16}{7}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{16}{7} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}=-\frac{12}{7}+\left(-\frac{16}{7}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{16}{7} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49}=-\frac{12}{7}+\frac{256}{49}$$

Adunați -\frac{12}{7} cu \frac{256}{49} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49}=\frac{172}{49}$$

Factor t^{2}-\frac{32}{7}t+\frac{256}{49}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{16}{7}\right)^{2}=\frac{172}{49}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(t-\frac{16}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{172}{49}}$$

Simplificați.

$$t-\frac{16}{7}=\frac{2\sqrt{43}}{7} t-\frac{16}{7}=-\frac{2\sqrt{43}}{7}$$

Adunați \frac{16}{7} la ambele părți ale ecuației.

$$t=\frac{2\sqrt{43}+16}{7} t=\frac{16-2\sqrt{43}}{7}$$