Rezolvați 7n^2+39n-18=0

$$7 n ^ { 2 } + 39 n - 18 = 0$$

Rezolvați pentru n

$$n=-6$$

$$n=\frac{3}{7}\approx 0,428571429$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 7n^{2}+an+bn-18. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=39 ab=7\left(-18\right)=-126$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -126.

$$-1,126 -2,63 -3,42 -6,21 -7,18 -9,14$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+126=125 -2+63=61 -3+42=39 -6+21=15 -7+18=11 -9+14=5$$

Soluția este perechea care dă suma de 39.

$$a=-3 b=42$$

Rescrieți 7n^{2}+39n-18 ca \left(7n^{2}-3n\right)+\left(42n-18\right).

$$\left(7n^{2}-3n\right)+\left(42n-18\right)$$

Factor n în primul și 6 în al doilea grup.

$$n\left(7n-3\right)+6\left(7n-3\right)$$

Scoateți termenul comun 7n-3 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(7n-3\right)\left(n+6\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 7n-3=0 și n+6=0.

$$n=\frac{3}{7} n=-6$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$7n^{2}+39n-18=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 7, b cu 39 și c cu -18 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-39±\sqrt{39^{2}-4\times 7\left(-18\right)}}{2\times 7}$$

Ridicați 39 la pătrat.

$$n=\frac{-39±\sqrt{1521-4\times 7\left(-18\right)}}{2\times 7}$$

Înmulțiți -4 cu 7.

$$n=\frac{-39±\sqrt{1521-28\left(-18\right)}}{2\times 7}$$

Înmulțiți -28 cu -18.

$$n=\frac{-39±\sqrt{1521+504}}{2\times 7}$$

Adunați 1521 cu 504.

$$n=\frac{-39±\sqrt{2025}}{2\times 7}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 2025.

$$n=\frac{-39±45}{2\times 7}$$

Înmulțiți 2 cu 7.

$$n=\frac{-39±45}{14}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{-39±45}{14} atunci când ± este plus. Adunați -39 cu 45.

$$n=\frac{6}{14}$$

Reduceți fracția \frac{6}{14} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$n=\frac{3}{7}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{-39±45}{14} atunci când ± este minus. Scădeți 45 din -39.

$$n=-\frac{84}{14}$$

Împărțiți -84 la 14.

$$n=-6$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$n=\frac{3}{7} n=-6$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$7n^{2}+39n-18=0$$

Adunați 18 la ambele părți ale ecuației.

$$7n^{2}+39n-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

Scăderea -18 din el însuși are ca rezultat 0.

$$7n^{2}+39n=-\left(-18\right)$$

Scădeți -18 din 0.

$$7n^{2}+39n=18$$

Se împart ambele părți la 7.

$$\frac{7n^{2}+39n}{7}=\frac{18}{7}$$

Împărțirea la 7 anulează înmulțirea cu 7.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n=\frac{18}{7}$$

Împărțiți \frac{39}{7}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{39}{14}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{39}{14} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n+\left(\frac{39}{14}\right)^{2}=\frac{18}{7}+\left(\frac{39}{14}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{39}{14} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n+\frac{1521}{196}=\frac{18}{7}+\frac{1521}{196}$$

Adunați \frac{18}{7} cu \frac{1521}{196} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$n^{2}+\frac{39}{7}n+\frac{1521}{196}=\frac{2025}{196}$$

Factor n^{2}+\frac{39}{7}n+\frac{1521}{196}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{39}{14}\right)^{2}=\frac{2025}{196}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(n+\frac{39}{14}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2025}{196}}$$

Simplificați.

$$n+\frac{39}{14}=\frac{45}{14} n+\frac{39}{14}=-\frac{45}{14}$$

Scădeți \frac{39}{14} din ambele părți ale ecuației.

$$n=\frac{3}{7} n=-6$$