Rezolvați 636=5n+4n^2

$$636 = 5 n + 4 n ^ { 2 }$$

Rezolvați pentru n

$$n = -\frac{53}{4} = -13\frac{1}{4} = -13,25$$

$$n=12$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$5n+4n^{2}=636$$

Scădeți 636 din ambele părți.

$$5n+4n^{2}-636=0$$

Rearanjați polinomul pentru a-l pune în formă standard. Plasați termenii în ordine de la cel mai mare la puterea minimă.

$$4n^{2}+5n-636=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 4n^{2}+an+bn-636. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=5 ab=4\left(-636\right)=-2544$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -2544.

$$-1,2544 -2,1272 -3,848 -4,636 -6,424 -8,318 -12,212 -16,159 -24,106 -48,53$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+2544=2543 -2+1272=1270 -3+848=845 -4+636=632 -6+424=418 -8+318=310 -12+212=200 -16+159=143 -24+106=82 -48+53=5$$

Soluția este perechea care dă suma de 5.

$$a=-48 b=53$$

Rescrieți 4n^{2}+5n-636 ca \left(4n^{2}-48n\right)+\left(53n-636\right).

$$\left(4n^{2}-48n\right)+\left(53n-636\right)$$

Factor 4n în primul și 53 în al doilea grup.

$$4n\left(n-12\right)+53\left(n-12\right)$$

Scoateți termenul comun n-12 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(n-12\right)\left(4n+53\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați n-12=0 și 4n+53=0.

$$n=12 n=-\frac{53}{4}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$5n+4n^{2}=636$$

Scădeți 636 din ambele părți.

$$5n+4n^{2}-636=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$4n^{2}+5n-636=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 4, b cu 5 și c cu -636 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 4\left(-636\right)}}{2\times 4}$$

Ridicați 5 la pătrat.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 4\left(-636\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -4 cu 4.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25-16\left(-636\right)}}{2\times 4}$$

Înmulțiți -16 cu -636.

$$n=\frac{-5±\sqrt{25+10176}}{2\times 4}$$

Adunați 25 cu 10176.

$$n=\frac{-5±\sqrt{10201}}{2\times 4}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 10201.

$$n=\frac{-5±101}{2\times 4}$$

Înmulțiți 2 cu 4.

$$n=\frac{-5±101}{8}$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{-5±101}{8} atunci când ± este plus. Adunați -5 cu 101.

$$n=\frac{96}{8}$$

Împărțiți 96 la 8.

$$n=12$$

Acum rezolvați ecuația n=\frac{-5±101}{8} atunci când ± este minus. Scădeți 101 din -5.

$$n=-\frac{106}{8}$$

Reduceți fracția \frac{-106}{8} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$n=-\frac{53}{4}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$n=12 n=-\frac{53}{4}$$

Pași pentru completarea pătratului

Interschimbați părțile, astfel încât toți termenii variabili să fie pe partea stângă.

$$5n+4n^{2}=636$$

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$4n^{2}+5n=636$$

Se împart ambele părți la 4.

$$\frac{4n^{2}+5n}{4}=\frac{636}{4}$$

Împărțirea la 4 anulează înmulțirea cu 4.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n=\frac{636}{4}$$

Împărțiți 636 la 4.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n=159$$

Împărțiți \frac{5}{4}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{5}{8}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{5}{8} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}=159+\left(\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{5}{8} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n+\frac{25}{64}=159+\frac{25}{64}$$

Adunați 159 cu \frac{25}{64}.

$$n^{2}+\frac{5}{4}n+\frac{25}{64}=\frac{10201}{64}$$

Factor n^{2}+\frac{5}{4}n+\frac{25}{64}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{5}{8}\right)^{2}=\frac{10201}{64}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{10201}{64}}$$

Simplificați.

$$n+\frac{5}{8}=\frac{101}{8} n+\frac{5}{8}=-\frac{101}{8}$$

Scădeți \frac{5}{8} din ambele părți ale ecuației.

$$n=12 n=-\frac{53}{4}$$