Rezolvați 6x^2-x=40

$$6 x ^ { 2 } - x = 40$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2,666666667$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 40 din ambele părți.

$$6x^{2}-x-40=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 6x^{2}+ax+bx-40. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-1 ab=6\left(-40\right)=-240$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -240.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

Soluția este perechea care dă suma de -1.

$$a=-16 b=15$$

Rescrieți 6x^{2}-x-40 ca \left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right).

$$\left(6x^{2}-16x\right)+\left(15x-40\right)$$

Factor 2x în primul și 5 în al doilea grup.

$$2x\left(3x-8\right)+5\left(3x-8\right)$$

Scoateți termenul comun 3x-8 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x-8\right)\left(2x+5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 3x-8=0 și 2x+5=0.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$6x^{2}-x=40$$

Scădeți 40 din ambele părți ale ecuației.

$$6x^{2}-x-40=40-40$$

Scăderea 40 din el însuși are ca rezultat 0.

$$6x^{2}-x-40=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 6, b cu -1 și c cu -40 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 6\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -4 cu 6.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-24\left(-40\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -24 cu -40.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+960}}{2\times 6}$$

Adunați 1 cu 960.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{961}}{2\times 6}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 961.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±31}{2\times 6}$$

Opusul lui -1 este 1.

$$x=\frac{1±31}{2\times 6}$$

Înmulțiți 2 cu 6.

$$x=\frac{1±31}{12}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±31}{12} atunci când ± este plus. Adunați 1 cu 31.

$$x=\frac{32}{12}$$

Reduceți fracția \frac{32}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=\frac{8}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{1±31}{12} atunci când ± este minus. Scădeți 31 din 1.

$$x=-\frac{30}{12}$$

Reduceți fracția \frac{-30}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-x=40$$

Se împart ambele părți la 6.

$$\frac{6x^{2}-x}{6}=\frac{40}{6}$$

Împărțirea la 6 anulează înmulțirea cu 6.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{40}{6}$$

Reduceți fracția \frac{40}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 2.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x=\frac{20}{3}$$

Împărțiți -\frac{1}{6}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{1}{12}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{1}{12} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{20}{3}+\left(-\frac{1}{12}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{1}{12} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{20}{3}+\frac{1}{144}$$

Adunați \frac{20}{3} cu \frac{1}{144} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}=\frac{961}{144}$$

Factor x^{2}-\frac{1}{6}x+\frac{1}{144}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}=\frac{961}{144}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{961}{144}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{1}{12}=\frac{31}{12} x-\frac{1}{12}=-\frac{31}{12}$$

Adunați \frac{1}{12} la ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{8}{3} x=-\frac{5}{2}$$