Rezolvați 6x^2-9x-60=0

$$6 x ^ { 2 } - 9 x - 60 = 0$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=4$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Se împart ambele părți la 3.

$$2x^{2}-3x-20=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 2x^{2}+ax+bx-20. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-3 ab=2\left(-20\right)=-40$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este negativ, numărul negativ are o valoare absolută mai mare decât valoarea pozitivă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -40.

$$1,-40 2,-20 4,-10 5,-8$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$1-40=-39 2-20=-18 4-10=-6 5-8=-3$$

Soluția este perechea care dă suma de -3.

$$a=-8 b=5$$

Rescrieți 2x^{2}-3x-20 ca \left(2x^{2}-8x\right)+\left(5x-20\right).

$$\left(2x^{2}-8x\right)+\left(5x-20\right)$$

Factor 2x în primul și 5 în al doilea grup.

$$2x\left(x-4\right)+5\left(x-4\right)$$

Scoateți termenul comun x-4 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(x-4\right)\left(2x+5\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați x-4=0 și 2x+5=0.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$6x^{2}-9x-60=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 6, b cu -9 și c cu -60 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 6\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

Ridicați -9 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 6\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -4 cu 6.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-24\left(-60\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -24 cu -60.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+1440}}{2\times 6}$$

Adunați 81 cu 1440.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{1521}}{2\times 6}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 1521.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±39}{2\times 6}$$

Opusul lui -9 este 9.

$$x=\frac{9±39}{2\times 6}$$

Înmulțiți 2 cu 6.

$$x=\frac{9±39}{12}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{9±39}{12} atunci când ± este plus. Adunați 9 cu 39.

$$x=\frac{48}{12}$$

Împărțiți 48 la 12.

$$x=4$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{9±39}{12} atunci când ± este minus. Scădeți 39 din 9.

$$x=-\frac{30}{12}$$

Reduceți fracția \frac{-30}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}-9x-60=0$$

Adunați 60 la ambele părți ale ecuației.

$$6x^{2}-9x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Scăderea -60 din el însuși are ca rezultat 0.

$$6x^{2}-9x=-\left(-60\right)$$

Scădeți -60 din 0.

$$6x^{2}-9x=60$$

Se împart ambele părți la 6.

$$\frac{6x^{2}-9x}{6}=\frac{60}{6}$$

Împărțirea la 6 anulează înmulțirea cu 6.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{6}\right)x=\frac{60}{6}$$

Reduceți fracția \frac{-9}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{60}{6}$$

Împărțiți 60 la 6.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=10$$

Împărțiți -\frac{3}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține -\frac{3}{4}. Apoi, adunați pătratul lui -\frac{3}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=10+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Ridicați -\frac{3}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=10+\frac{9}{16}$$

Adunați 10 cu \frac{9}{16}.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{169}{16}$$

Factor x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Simplificați.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{13}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{13}{4}$$

Adunați \frac{3}{4} la ambele părți ale ecuației.

$$x=4 x=-\frac{5}{2}$$