Rezolvați 6x^2-41x+63

$$6 x ^ { 2 } - 41 x + 63$$

Descompunere în factori

$$\left(2x-9\right)\left(3x-7\right)$$

Pașii soluției

Descompuneți expresia în factori prin grupare. Mai întâi, expresia trebuie să fie rescrisă ca 6x^{2}+ax+bx+63. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=-41 ab=6\times 63=378$$

Deoarece ab este pozitiv, a și b au același semn. Deoarece a+b este negativ, a și b sunt negative. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse 378.

$$-1,-378 -2,-189 -3,-126 -6,-63 -7,-54 -9,-42 -14,-27 -18,-21$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1-378=-379 -2-189=-191 -3-126=-129 -6-63=-69 -7-54=-61 -9-42=-51 -14-27=-41 -18-21=-39$$

Soluția este perechea care dă suma de -41.

$$a=-27 b=-14$$

Rescrieți 6x^{2}-41x+63 ca \left(6x^{2}-27x\right)+\left(-14x+63\right).

$$\left(6x^{2}-27x\right)+\left(-14x+63\right)$$

Factor 3x în primul și -7 în al doilea grup.

$$3x\left(2x-9\right)-7\left(2x-9\right)$$

Scoateți termenul comun 2x-9 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(2x-9\right)\left(3x-7\right)$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Polinomul de gradul doi se poate descompune în factori folosind transformarea ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), unde x_{1} și x_{2} sunt soluțiile ecuației de gradul doi ax^{2}+bx+c=0.

$$6x^{2}-41x+63=0$$

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{\left(-41\right)^{2}-4\times 6\times 63}}{2\times 6}$$

Ridicați -41 la pătrat.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-4\times 6\times 63}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -4 cu 6.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-24\times 63}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -24 cu 63.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{1681-1512}}{2\times 6}$$

Adunați 1681 cu -1512.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 169.

$$x=\frac{-\left(-41\right)±13}{2\times 6}$$

Opusul lui -41 este 41.

$$x=\frac{41±13}{2\times 6}$$

Înmulțiți 2 cu 6.

$$x=\frac{41±13}{12}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{41±13}{12} atunci când ± este plus. Adunați 41 cu 13.

$$x=\frac{54}{12}$$

Reduceți fracția \frac{54}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=\frac{9}{2}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{41±13}{12} atunci când ± este minus. Scădeți 13 din 41.

$$x=\frac{28}{12}$$

Reduceți fracția \frac{28}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=\frac{7}{3}$$

Descompuneți în factori expresia inițială utilizând ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Înlocuiți x_{1} cu \frac{9}{2} și x_{2} cu \frac{7}{3}.

$$6x^{2}-41x+63=6\left(x-\frac{9}{2}\right)\left(x-\frac{7}{3}\right)$$

Scădeți \frac{9}{2} din x găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$6x^{2}-41x+63=6\times \frac{2x-9}{2}\left(x-\frac{7}{3}\right)$$

Scădeți \frac{7}{3} din x găsind un numitor comun și scăzând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$6x^{2}-41x+63=6\times \frac{2x-9}{2}\times \frac{3x-7}{3}$$

Înmulțiți \frac{2x-9}{2} cu \frac{3x-7}{3} prin înmulțirea valorilor de la numărător și a valorilor de la numitor. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$6x^{2}-41x+63=6\times \frac{\left(2x-9\right)\left(3x-7\right)}{2\times 3}$$

Înmulțiți 2 cu 3.

$$6x^{2}-41x+63=6\times \frac{\left(2x-9\right)\left(3x-7\right)}{6}$$

Simplificați cu 6, cel mai mare factor comun din 6 și 6.

$$6x^{2}-41x+63=\left(2x-9\right)\left(3x-7\right)$$

Evaluați

$$\left(2x-9\right)\left(3x-7\right)$$