Rezolvați 6x^2+5x=6

$$6 x ^ { 2 } + 5 x = 6$$

Rezolvați pentru x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0,666666667$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Scădeți 6 din ambele părți.

$$6x^{2}+5x-6=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 6x^{2}+ax+bx-6. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=5 ab=6\left(-6\right)=-36$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -36.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

Soluția este perechea care dă suma de 5.

$$a=-4 b=9$$

Rescrieți 6x^{2}+5x-6 ca \left(6x^{2}-4x\right)+\left(9x-6\right).

$$\left(6x^{2}-4x\right)+\left(9x-6\right)$$

Factor 2x în primul și 3 în al doilea grup.

$$2x\left(3x-2\right)+3\left(3x-2\right)$$

Scoateți termenul comun 3x-2 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(3x-2\right)\left(2x+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați 3x-2=0 și 2x+3=0.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$6x^{2}+5x=6$$

Scădeți 6 din ambele părți ale ecuației.

$$6x^{2}+5x-6=6-6$$

Scăderea 6 din el însuși are ca rezultat 0.

$$6x^{2}+5x-6=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 6, b cu 5 și c cu -6 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 6\left(-6\right)}}{2\times 6}$$

Ridicați 5 la pătrat.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 6\left(-6\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -4 cu 6.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-24\left(-6\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -24 cu -6.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+144}}{2\times 6}$$

Adunați 25 cu 144.

$$x=\frac{-5±\sqrt{169}}{2\times 6}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 169.

$$x=\frac{-5±13}{2\times 6}$$

Înmulțiți 2 cu 6.

$$x=\frac{-5±13}{12}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±13}{12} atunci când ± este plus. Adunați -5 cu 13.

$$x=\frac{8}{12}$$

Reduceți fracția \frac{8}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 4.

$$x=\frac{2}{3}$$

Acum rezolvați ecuația x=\frac{-5±13}{12} atunci când ± este minus. Scădeți 13 din -5.

$$x=-\frac{18}{12}$$

Reduceți fracția \frac{-18}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{3}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$6x^{2}+5x=6$$

Se împart ambele părți la 6.

$$\frac{6x^{2}+5x}{6}=\frac{6}{6}$$

Împărțirea la 6 anulează înmulțirea cu 6.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x=\frac{6}{6}$$

Împărțiți 6 la 6.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x=1$$

Împărțiți \frac{5}{6}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{5}{12}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{5}{12} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\left(\frac{5}{12}\right)^{2}=1+\left(\frac{5}{12}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{5}{12} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=1+\frac{25}{144}$$

Adunați 1 cu \frac{25}{144}.

$$x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}=\frac{169}{144}$$

Factor x^{2}+\frac{5}{6}x+\frac{25}{144}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{12}\right)^{2}=\frac{169}{144}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{144}}$$

Simplificați.

$$x+\frac{5}{12}=\frac{13}{12} x+\frac{5}{12}=-\frac{13}{12}$$

Scădeți \frac{5}{12} din ambele părți ale ecuației.

$$x=\frac{2}{3} x=-\frac{3}{2}$$