Rezolvați 6q^2+3q-9=0

$$6 q ^ { 2 } + 3 q - 9 = 0$$

Rezolvați pentru q

$$q = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$q=1$$

Pași utilizând descompunerea în factori prin grupare

Se împart ambele părți la 3.

$$2q^{2}+q-3=0$$

Pentru a rezolva ecuația, factor mâna stângă după grupare. Mai întâi, fața la stânga trebuie să fie rescrisă ca 2q^{2}+aq+bq-3. Pentru a găsi a și b, configurați un sistem pentru a fi rezolvat.

$$a+b=1 ab=2\left(-3\right)=-6$$

Deoarece ab este negativ, a și b au semne opuse. Deoarece a+b este pozitiv, numărul pozitiv are o valoare absolută mai mare decât valoarea negativă. Listează toate perechi de valori întregi care oferă produse -6.

$$-1,6 -2,3$$

Calculați suma pentru fiecare pereche.

$$-1+6=5 -2+3=1$$

Soluția este perechea care dă suma de 1.

$$a=-2 b=3$$

Rescrieți 2q^{2}+q-3 ca \left(2q^{2}-2q\right)+\left(3q-3\right).

$$\left(2q^{2}-2q\right)+\left(3q-3\right)$$

Factor 2q în primul și 3 în al doilea grup.

$$2q\left(q-1\right)+3\left(q-1\right)$$

Scoateți termenul comun q-1 prin utilizarea proprietății de distributivitate.

$$\left(q-1\right)\left(2q+3\right)$$

Pentru a găsi soluții de ecuații, rezolvați q-1=0 și 2q+3=0.

$$q=1 q=-\frac{3}{2}$$

Pași folosind formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea

Toate ecuațiile de forma ax^{2}+bx+c=0 pot fi rezolvate utilizând formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Formula rădăcinilor ecuației de gradul al doilea oferă două soluții, una atunci când operația ± este de adunare și una atunci când este de scădere.

$$6q^{2}+3q-9=0$$

Această ecuație este în formă standard: ax^{2}+bx+c=0. Înlocuiți a cu 6, b cu 3 și c cu -9 în formula rădăcinilor ecuațiilor de gradul al doilea, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$q=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 6\left(-9\right)}}{2\times 6}$$

Ridicați 3 la pătrat.

$$q=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 6\left(-9\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -4 cu 6.

$$q=\frac{-3±\sqrt{9-24\left(-9\right)}}{2\times 6}$$

Înmulțiți -24 cu -9.

$$q=\frac{-3±\sqrt{9+216}}{2\times 6}$$

Adunați 9 cu 216.

$$q=\frac{-3±\sqrt{225}}{2\times 6}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru 225.

$$q=\frac{-3±15}{2\times 6}$$

Înmulțiți 2 cu 6.

$$q=\frac{-3±15}{12}$$

Acum rezolvați ecuația q=\frac{-3±15}{12} atunci când ± este plus. Adunați -3 cu 15.

$$q=\frac{12}{12}$$

Împărțiți 12 la 12.

$$q=1$$

Acum rezolvați ecuația q=\frac{-3±15}{12} atunci când ± este minus. Scădeți 15 din -3.

$$q=-\frac{18}{12}$$

Reduceți fracția \frac{-18}{12} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 6.

$$q=-\frac{3}{2}$$

Ecuația este rezolvată acum.

$$q=1 q=-\frac{3}{2}$$

Pași pentru completarea pătratului

Ecuațiile de gradul doi ca aceasta pot fi rezolvate prin completarea pătratului. Pentru a completa pătratul, ecuația trebuie mai întâi să fie sub forma x^{2}+bx=c.

$$6q^{2}+3q-9=0$$

Adunați 9 la ambele părți ale ecuației.

$$6q^{2}+3q-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Scăderea -9 din el însuși are ca rezultat 0.

$$6q^{2}+3q=-\left(-9\right)$$

Scădeți -9 din 0.

$$6q^{2}+3q=9$$

Se împart ambele părți la 6.

$$\frac{6q^{2}+3q}{6}=\frac{9}{6}$$

Împărțirea la 6 anulează înmulțirea cu 6.

$$q^{2}+\frac{3}{6}q=\frac{9}{6}$$

Reduceți fracția \frac{3}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$q^{2}+\frac{1}{2}q=\frac{9}{6}$$

Reduceți fracția \frac{9}{6} la cei mai mici termeni, prin extragerea și reducerea 3.

$$q^{2}+\frac{1}{2}q=\frac{3}{2}$$

Împărțiți \frac{1}{2}, coeficientul termenului x, la 2 pentru a obține \frac{1}{4}. Apoi, adunați pătratul lui \frac{1}{4} la ambele părți ale ecuației. Acest pas face din partea stângă a ecuației un pătrat perfect.

$$q^{2}+\frac{1}{2}q+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Ridicați \frac{1}{4} la pătrat, calculând pătratul pentru numărătorul și numitorul fracției.

$$q^{2}+\frac{1}{2}q+\frac{1}{16}=\frac{3}{2}+\frac{1}{16}$$

Adunați \frac{3}{2} cu \frac{1}{16} găsind un numitor comun și adunând numărătorii. Apoi simplificați fracția până devine ireductibilă, dacă este posibil.

$$q^{2}+\frac{1}{2}q+\frac{1}{16}=\frac{25}{16}$$

Factor q^{2}+\frac{1}{2}q+\frac{1}{16}. În general, atunci când x^{2}+bx+c este un pătrat perfect, el poate fi descompus în factori oricând ca \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(q+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{25}{16}$$

Aflați rădăcina pătrată pentru ambele părți ale ecuației.

$$\sqrt{\left(q+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{16}}$$

Simplificați.

$$q+\frac{1}{4}=\frac{5}{4} q+\frac{1}{4}=-\frac{5}{4}$$

Scădeți \frac{1}{4} din ambele părți ale ecuației.

$$q=1 q=-\frac{3}{2}$$